Question

初三数学“圆”

如图所示,已知BC为半圆的直径,圆心为O,F是半圆上的异于B、C的一点,A是弧BF的中点，AD⊥BC与点D，BF交AD于点E
①求证：BE·BF＝BD·BC；
②试比较线段BD与AE的大小，并说明理由

Answer 1

1、证明：连接CF、AC
∵BC为半圆O的直径
∴∠BFC＝90
∵AD⊥BC
∴∠BDE＝90
∴∠BFC＝∠BDE
∵∠FBC＝∠DBE
∴△BCF相似于△BED
∴BE/BD＝BC/BF
∴BE•BF＝BD•BC
2、AE＞BD
证明：
∵A为弧BF的中点
∴弧BA＝弧FA
∵∠ABF对应圆弧为劣弧FA、∠AFB对应圆弧为劣弧BA
∴∠ABF＝∠AFB
∵∠AFB、∠ACB所对应圆弧都为劣弧BA
∴∠ACB＝∠AFB
∴∠ABF＝∠ACB
∵BC为半圆O直径
∴∠BAC＝90
∴∠ACB+∠ABC＝90
∵AD⊥BC
∴∠BAD+∠ABC＝90
∴∠BAD＝∠ACB
∴∠BAD＝∠ABF
∴AE＝BE
∵BD为直角△BDE的直角边、BE为斜边
∴BE＞BD
∴AE＞BD

Answer 2

(1)连接FC
则角BFC=90°=角EDB
又角EBD即角CBF
∴三角形BED∽三角形BCF
∴BE/BC=BD/BF
对角相乘后得证