Question

λ取何值，如图非齐次线性方程组(1)有唯一解？(2)无解?(3)有无穷多解？

Answer 1

系数矩阵行列式 |A| =
|3-2λ 2-λ 1|
|2-λ 2-λ 1|
|1 1 2-λ|
|A| =
|1-λ 0 0|
|2-λ 2-λ 1|
|1 1 2-λ|
|A| = (1-λ)(3-4λ+λ^2) = (3-λ) (1-λ)^2
当 λ ≠ 3 且 λ ≠ 1 时， |A| ≠ 0， 方程组有唯一解；
当 λ = 3 时，增广矩阵 (A, b) =
[-3 -1 1 3]
[-1 -1 1 1]
[ 1 1 -1 1]
初等行变换为
[ 1 1 -1 1]
[0 2 -2 6]
[0 0 0 2]
初等行变换为

[ 1 0 0 -2]
[0 1 -1 3]
[0 0 0 1]
r(A, b) = 3， r(A) = 2 , 方程组无解；
当 λ = 1 时，增广矩阵 (A, b) =

[ 1 1 1 1]
[1 1 1 1]
[ 1 1 1 1]
初等行变换为
[ 1 1 1 1]
[ 0 0 0 0]
[ 0 0 0 0]
r(A, b) = r(A) =1 < 3, 方程组有无穷多解， 方程组已化为
x1 = 1-x2-x3
取 x2 = x3 = 0 得特解 (1，0，0)^T
导出组 是
x1 = x2-x3
取 x2 = -1, x3 = 0 得基础解系 (1，-1，0)^T
取 x2 = 0, x3 = -1 得基础解系 (1，0，-1)^T
此时通解是 x = k (1，-1，0)^T + c (1，0，-1)^T + (1，0，0)^T。

Answer 2