Question

求一道数学题的解 要过程

设f（x）=（我打不好，所以用图片代替，不要见怪）
（1）若f（x）在定义域D内是奇函数，求证：g（x）乘g（-x）=1
（2）若g（x）=ax且在[1,3]上最大值是2分之3，求a的值
（3）若g（x）=ax²-x，是否存在a使得f（x）在区间[2,4]上是增函数？如果存在，说明a可以取哪些值；如不存在，请说明理由

Answer 1

以log(a)g(x)表示以a为底g(x)的对数
1、f(x)是奇函数，则f(－x)=－f(x)，即f(－x)＋f(x)=0，代入，有：
[log(a)g(－x)]＋[log(a)g(x)]=0
log(a)[g(x)g(－x)]=0
则：g(x)g(－x)=1
2、g(x)=ax，则f(x)=log(a)[ax]=1＋log(a)x
①若0<a<1，则f(x)递减，则f(x)的最大值是f(1)=1＋log(a)1=3/2，此时无解；
②若a>1，则f(x)递增，则f(x)的最大值是f(3)=1＋log(a)3=3/2，得：a=3
3、g(x)=ax²－x，则f(x)=log(a)[ax²－x]
f(x)在[2，4]上递增，则：
①若0<a<1，则必须：g(x)在[2，4]上递减，即g(x)的对称轴x=1/(2a)≥4且g(4)>0，此时无解；
②若a>1，则g(x)在[2，4]上递增，即g(x)的对称轴x=1/(2a)≤2且g(2)>0，解得：a>1/2。即此时a的取值范围是：a>1

综合下，有：a的取值范围是a>1