Question

已知定义在正实数集上的函数f(x)=1/2x^2+2ax,g(x)=3a^2Inx+b，a,b属于R

1)其中a>0.设两曲线y=f(x),y=g(x)有公共点，且公共点处切线相同，用b表示a
2）若b属于【-2,2】，函数h(x)=f(x)+g(x)-(2a+b)x在（0,4）上为单调函数，求a的取值范围

Answer 1

1）对f（x）和g（x）求导
f＇（x）=x+2a
g＇（x）=3a²／x
f＇（x）=g＇（x）
解得x=a或x=-3a（a＞0，且x＞0故此根舍去）
x=a代回原式f（a）=g（a）
得到b=2.5a²-3a²lna
2）h（x）=0.5x²-bx+3a²lnx+b
h＇(x)=x-b+3a²/x
函数h(x)=f(x)+g(x)-(2a+b)x在（0,4）上为单调函数
h＇(x)恒正或恒负
分类讨论h＇(x)≥0
x+3a²/x≥b（恒成立）
x+3a²/x≥2又x∈（0，4）
3a²≥（2-x）x
故3a²≥1
a≥√3/3或a≤-√3/3
h＇(x)≤0
x+3a²/x≤b
x+3a²/x≤-2
3a²≤-（x+2）x
3a²≤-24
无解
综上所述a≥√3/3或a≤-√3/3
望采纳