Question

设f(x)=1/丨x-1丨(x≠1) 1(x=1)

这是个分段函数 若关于x的方程f^2(x)+bf(x)+c=0有三个不同的实数解x1 x2 x3、 则x1^2+x2^2+x3^2等于？

Answer 1

解：函数f(x)= 1 |x-1| ，x≠1 1，x=1   的图象如下图所示：
由图易得函数的值域为（0，+∞）
令t=f（x）
则方程f2（x）+bf（x）+c=0
可化为t2+bt+c+0，
若此方程无正根，则方程f2（x）+bf（x）+c=0无根
若此方程有一个非1的正根，则方程f2（x）+bf（x）+c=0有两根；
若此方程有一个等 1的正根，则方程f2（x）+bf（x）+c=0有三根；
此时t=f（x）=1，x1=0，x2=1，x3=2，x12+x22+x32=5
若此方程有两个非1的正根，则方程f2（x）+bf（x）+c=0有四根；
若此方程有一个非1，一个等1的正根，则方程f2（x）+bf（x）+c=0有五根；
综上x12+x22+x32=5
故答案为：5

Answer 2

设t=f(x)
因为关于x的方程f^2(x)+bf(x)+c=0有三个不同的实数解x1 x2 x3
所以关于t的方程t^2+bt+c=0有两个不同的实数解且其中之一解是t1=1
所以1+b+c=0 c=-1-b 解方程t^2+bt+c=0即t^2+bt-(b+1)=0得t1=1，t2=-(b+1)
显然-(b+1)≠1 b≠-2
解f^2(x)+bf(x)+c=0得f(x)=1或f(x)=-(b+1)
所以x1=1，x2=1-1/(b+1)，x3=1+1/(b+1)
x1^2+x2^2+x3^2=1+[1-1/(b+1)]^2+[1+1/(b+1)]^2=3+1/(b+1)^2