Question

已知椭圆的两焦点为F1（－1，0），F2（1，0），P为椭圆上一点

且2│F1F2│＝│PF1│＋│PF2│，若点P在第二象限，∠F2F1P=120°，求△F2F1P的面积。

Answer 1

显然|F1F2| = 2。设|PF1| = x，则|PF2| = 2|F1F2| - |PF1| = 4 -x。根据余弦定理可知
|PF2|^2 = |PF1|^2 + |F1F2|^2 - 2|PF1|*|F1F2|*cos∠F2F1P。
从而(4 -x)^2 = x ^2 + 4 - 2 * x * 2 *(-0.5)，
即16 - 8x + x^2 = x^2 + 4 +2x，解得x = 1.2。△F2F1P为
1/2*|PF1|*|F1F2|*sin∠F2F1P = 0.5*1.2*2*sin 120° = 0.6*sqrt(3)。

Answer 2

│F1F2│=2c=2 │PF1│＋│PF2│ =2a 由 2│F1F2│＝│PF1│＋│PF2│ 4c=2a=4,a=2
所以a=2,b=√3,c=1 设│PF1│=x,所以│PF2│=2a-x=4-x
在三角形F1F2P中，
由余弦公式得cos120=-1/2= (│PF1│^2+│F1F2│^2-│PF2│^2)/2│PF1││F2F1│
将│PF1│=x,│PF2│=4-x，│F1F2│=2代入上式得x=6/5 所以│PF1│=6/5
由面积公式S=1/2│PF1││PF1│sin120=3√3/5

Answer 3

用余弦定理：cos120=(PF1^2+F1F2^2-PF2^2)/(2PF1*F1F2)
PF1+PF2=4;以上两式联立求解可以得到PF1和PF2
面积：0.5*F1F2*PF1*sin60
自己算一下吧