Question

数学圆锥曲线问题

如图所示抛物线关于X轴对称，它的顶点在坐标原点，点P（1，2），A（x1，y1)，B(x2，y2)均在抛物线上。当PA与PB的斜率存在且倾斜角互补时，求y1+y2的值及直线AB的斜率。

Answer 1

方程 y²=2px,
代入（1,2）
4=2p
方程为 y²=4x
k(PA)=(y1-2)/(x1-1)=(y1-2)/(y1^2/4-1)=4(y1-2)/(y1^2-4)=4/(y1+2)
k(PB)=(y2-2)/(x2-1)=(y2-2)/(y2^2/4-1)=4(y2-2)/(y2^2-4)=4/(y2+2)
当PA与PB的斜率存在且倾斜角互补时，
k(PA)+k(PB)=0
4/(y2+2)+4/(y1+2)=0
4(y1+2+y2+2)/(y1+2)(y2+2)=0
y1+y2=-4
kAB=(y2-y1)/(x2-x1)=(y2-y1)/(y2^1/4-y1^2/4)=4(y2-y1)/(y2^2-y1^2)=4/(y1+y2)=-1