设f(x)在[a, b]上连续,在(a, b)内可导，且在(a, b)内f'(x)≠0证明在ab
F(x)=∫ [a-->x] f(t)dt/(x-a)
F'(x)=( f(x)(x-a)-∫ [a-->x] f(t)dt )/(x-a)^2
由积分中值定理，存在ξ∈(a，x)，使∫ [a-->x] f(t)dt=f(ξ)(x-a)
则F'(x)=( f(x)(x-a)-f(ξ)(x-a) )/(x-a)^2
=(f(x)-f(ξ))/(x-a)
由x在(a，b)内，x>a，由ξ∈(a，x)，则ξ<x，
由于f '(x)<0，则f(x)是减函数，则f(x)<f(ξ)
因此F'(x)=(f(x)-f(ξ))/(x-a)，分子为负，分母为正，所以F'(x)<0。
函数y=f（x）当自变量x的变化很小时，所引起的因变量y的变化也很小。例如，气温随时间变化，只要时间变化很小，气温的变化也是很小的；又如，自由落体的位移随时间变化，只要时间变化足够短，位移的变化也是很小的。
扩展资料：
如果自变量在某一点处的增量趋于0时，对应函数值的增量也趋于0，就把f(x)称作是在该点处连续的。
在函数极限的定义中曾经强调过，当x→x0时f(x)有没有极限，与f(x)在点x0处是否有定义并无关系。但由于现在函数在x0处连续，则表示f(x0)必定存在，显然当Δx=0（即x=x0）时Δy=0<ε。于是上述推导过程中可以取消0<|Δx|这个条件。
反证法，假设f(x)在[a,b]上无上界，则对任意正数M，都存在一个x'∈[a,b]，使f(x')>M。
特别地，对于任意正整数n，都存在一个xn∈[a,b]，使f(xn)>n。
参考资料来源：百度百科——连续函数
F'(x)=( f(x)(x-a)-∫ [a-->x] f(t)dt )/(x-a)^2
由积分中值定理，存在ξ∈(a,x)，使∫ [a-->x] f(t)dt=f(ξ)(x-a)
则F'(x)=( f(x)(x-a)-f(ξ)(x-a) )/(x-a)^2
=(f(x)-f(ξ))/(x-a)
由x在(a,b)内，x>a，由ξ∈(a,x)，则ξ<x，
由于f '(x)<0，则f(x)是减函数，则f(x)<f(ξ)
因此F'(x)=(f(x)-f(ξ))/(x-a)，分子为负，分母为正，所以F'(x)<0。
F(x)=∫[a-->x]f(t)dt/(x-a)
F'(x)=(f(x)(x-a)-∫[a-->x]f(t)dt)/(x-a)^2
由积分中值定理，存在ξ∈(a，x)，使∫[a-->x]f(t)dt=f(ξ)(x-a)
则F'(x)=(f(x)(x-a)-f(ξ)(x-a))/(x-a)^2
=(f(x)-f(ξ))/(x-a)
由x在(a，b)内，x>a，由ξ∈(a，x)，则ξ<x，
由于f'(x)<0，则f(x)是减函数，则f(x)<f(ξ)
因此F'(x)=(f(x)-f(ξ))/(x-a)，分子为负，分母为正，所以F'(x)<0。
函数y=f（x）当自变量x的变化很小时，所引起的因变量y的变化也很小。例如，气温随时间变化，只要时间变化很小，气温的变化也是很小的；又如，自由落体的位移随时间变化，只要时间变化足够短，位移的变化也是很小的。
扩展资料：
如果自变量在某一点处的增量趋于0时，对应函数值的增量也趋于0，就把f(x)称作是在该点处连续的。
在函数极限的定义中曾经强调过，当x→x0时f(x)有没有极限，与f(x)在点x0处是否有定义并无关系。但由于现在函数在x0处连续，则表示f(x0)必定存在，显然当Δx=0（即x=x0）时Δy=0<ε。于是上述推导过程中可以取消0<|Δx|这个条件。
反证法，假设f(x)在[a,b]上无上界，则对任意正数M，都存在一个x'∈[a,b]，使f(x')>M。
特别地，对于任意正整数n，都存在一个xn∈[a,b]，使f(xn)>n。
参考资料来源：/baike.baidu.com/item/%E8%BF%9E%E7%BB%AD%E5%87%BD%E6%95%B0/2716812?fr=aladdin"target="_blank"title="百度百科——连续函数">百度百科——连续函数
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