如何求该数列的通项公式(关于n的函数)
如何求该数列的通项公式(关于n的函数)已知一数列a1=1,a2=1,a3=2,a4=3,a5=6。a(n)=a(n-1)+a(n-2)+a(n-3),n≥5。括号内容为下...
如何求该数列的通项公式(关于n的函数)已知一数列
a1=1,a2=1,a3=2,a4=3,a5=6。
a(n)=a(n-1)+a(n-2)+a(n-3),n≥5。
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a1=1,a2=1,a3=2,a4=3,a5=6。
a(n)=a(n-1)+a(n-2)+a(n-3),n≥5。
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数列知识是高考中的重要考察内容,而数列的通项公式又是数列的核心内容之一,它如同函数中的解析式一样,有了解析式便可研究起性质等;而有了数列的通项公式便可求出任一项以及前N项和等.因此,求数列的通项公式往往是解题的突破口,关键点.故将求数列通项公式的方法做一总结,希望能对广大考生的复习有所帮助.下面就谈谈求数列通项公式的几种方法:
1、类型1 
解法:把原递推公式转化为,利用累加法(逐差相加法)求解。
例:已知数列满足,,求。
解:由条件知:
分别令,代入上式得个等式累加之,即

所以,,
2、类型2 
解法:把原递推公式转化为,利用累乘法(逐商相乘法)求解。
例:已知数列满足,,求。
解:由条件知,分别令,代入上式得个等式累乘之,即
又,
例:已知, ,求。
解:
。
3、类型3 (其中p,q均为常数,)。
解法(待定系数法):把原递推公式转化为:,其中,再利用换元法转化为等比数列求解。
例:已知数列中,,,求.
解:设递推公式可以转化为即.故递推公式为,令,则,且.所以是以为首项,2为公比的等比数列,则,所以.
变式:递推式:。解法:只需构造数列,消去带来的差异.
4、类型4 (其中p,q均为常数,)。 (或,其中p,q, r均为常数) 。
解法:一般地,要先在原递推公式两边同除以,得:引入辅助数列(其中),得:再待定系数法解决。
例:已知数列中,,,求。
解:在两边乘以得:
令,则,解之得:所以
5、类型5 递推公式为(其中p,q均为常数)。
解法一(待定系数法):先把原递推公式转化为其中s,t满足
例:已知数列中,, ,,求。
解:由可转化为
即或
这里不妨选用(当然也可选用,大家可以试一试),则是以首项为,公比为的等比数列,所以,应用类型1的方法,分别令,代入上式得个等式累加之,即又,所以。
6、类型6
解法:这种类型一般是等式两边取倒数后换元转化为。
例:已知数列{an}满足:,求数列{an}的通项公式。
解:取倒数: 是等差数列, 
1、类型1 
解法:把原递推公式转化为,利用累加法(逐差相加法)求解。
例:已知数列满足,,求。
解:由条件知:
分别令,代入上式得个等式累加之,即

所以,,
2、类型2 
解法:把原递推公式转化为,利用累乘法(逐商相乘法)求解。
例:已知数列满足,,求。
解:由条件知,分别令,代入上式得个等式累乘之,即
又,
例:已知, ,求。
解:
。
3、类型3 (其中p,q均为常数,)。
解法(待定系数法):把原递推公式转化为:,其中,再利用换元法转化为等比数列求解。
例:已知数列中,,,求.
解:设递推公式可以转化为即.故递推公式为,令,则,且.所以是以为首项,2为公比的等比数列,则,所以.
变式:递推式:。解法:只需构造数列,消去带来的差异.
4、类型4 (其中p,q均为常数,)。 (或,其中p,q, r均为常数) 。
解法:一般地,要先在原递推公式两边同除以,得:引入辅助数列(其中),得:再待定系数法解决。
例:已知数列中,,,求。
解:在两边乘以得:
令,则,解之得:所以
5、类型5 递推公式为(其中p,q均为常数)。
解法一(待定系数法):先把原递推公式转化为其中s,t满足
例:已知数列中,, ,,求。
解:由可转化为
即或
这里不妨选用(当然也可选用,大家可以试一试),则是以首项为,公比为的等比数列,所以,应用类型1的方法,分别令,代入上式得个等式累加之,即又,所以。
6、类型6
解法:这种类型一般是等式两边取倒数后换元转化为。
例:已知数列{an}满足:,求数列{an}的通项公式。
解:取倒数: 是等差数列, 
追问
格式都弄没了
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在三阶递推中an+3=Pan+2+Qan+1+Ran
首先你要明白特征根是怎么来的
设a(n+3)+xa(n+2)+ya(n+1)=z(a(n+2)+xa(n+1)+ya(n))
由系数对应相等可得
z-x=P x=z-P
zx-y=Q
zy=R y=R/z
所以z(z-P)-R/z=Q 即z^3-pz^2-Qz-R=0
可见z是特征方程的根,一般取比较好算的整数,这样x y也就能顺利得到
你就可以求得数列{a(n+2)+xa(n+1)+ya(n)}的通项公式,一般是等比数列,z为公比
然后两边同时除以z^(n+2),化为a(n+2)/z^(n+2)+x/z*a(n+1)/z^(n+1)+y/z^2*a(n)/z^n=k的形式
设b(n)=a(n)/z^n 就有b(n+2)+x/z*b(n+1)+y/z^2*b(n)=k
以下仍然可以用待定系数法求通项,等比值仍可以通过特征方程求得
如上题中
an=a(n-1)+a(n-2)+a(n-3)→a(n+3)=a(n+2)+a(n+1)+an,然后套用上面的结论
首先你要明白特征根是怎么来的
设a(n+3)+xa(n+2)+ya(n+1)=z(a(n+2)+xa(n+1)+ya(n))
由系数对应相等可得
z-x=P x=z-P
zx-y=Q
zy=R y=R/z
所以z(z-P)-R/z=Q 即z^3-pz^2-Qz-R=0
可见z是特征方程的根,一般取比较好算的整数,这样x y也就能顺利得到
你就可以求得数列{a(n+2)+xa(n+1)+ya(n)}的通项公式,一般是等比数列,z为公比
然后两边同时除以z^(n+2),化为a(n+2)/z^(n+2)+x/z*a(n+1)/z^(n+1)+y/z^2*a(n)/z^n=k的形式
设b(n)=a(n)/z^n 就有b(n+2)+x/z*b(n+1)+y/z^2*b(n)=k
以下仍然可以用待定系数法求通项,等比值仍可以通过特征方程求得
如上题中
an=a(n-1)+a(n-2)+a(n-3)→a(n+3)=a(n+2)+a(n+1)+an,然后套用上面的结论
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