Question

已知空间向量中三角形的三个顶点坐标，如何求三角形的面积？谢谢

Answer 1

如下：

1、先求向量 AB、AC 的坐标，不妨设AB＝(a1，b1，c1)，AC＝(a2，b2，c2)。

2、计算 AB×AC。根据向量叉乘的定义。

3、计算 |AB×AC| 。用向量长度计算公式√(x²＋y²＋z²) 这个计算。

4、除以 2 ，即得三角形 ABC 面积。

基本定理

1、共线向量定理

两个空间向量a,b向量(b向量不等于0），a∥b的充要条件是存在唯一的实数λ，使a=λb。

2、共面向量定理

如果两个向量a,b不共线，则向量c与向量a,b共面的充要条件是：存在唯一的一对实数x,y,使c=ax+by。

3、空间向量分解定理

如果三个向量a、b、c不共面，那么对空间任一向量p，存在一个唯一的有序实数组x，y，z，使p=xa+yb+zc。

任意不共面的三个向量都可作为空间的一个基底，零向量的表示唯一。

Answer 2

1、先求向量 AB、AC 的坐标，不妨设
AB＝(a1，b1，c1)，AC＝(a2，b2，c2)
(这个会吧？用 B 点坐标减去 A 点坐标就是向量 AB 的坐标。同理可求 AC)
2、计算 AB×AC。
(这个也不难，向量叉乘的定义。)
3、计算 |AB×AC| 。
(向量长度计算公式。√(x²＋y²＋z²) 这个)
4、除以 2 ，即得三角形 ABC 面积。

Answer 3

要求解空间三角形的面积，可以使用向量的方法。假设已知三角形的三个顶点坐标为A(x1, y1, z1)，B(x2, y2, z2)，C(x3, y3, z3)。

首先，我们可以使用向量AB和向量AC来构造一个正交向量，例如向量N：
N = AB × AC
其中，× 表示向量的叉乘运算。

接下来，计算向量N的模长，得到平行四边形的面积：
面积 = 0.5 * ||N||
其中，||N|| 表示向量N的模长。

最后，得到的面积即为我们所求的空间三角形的面积。

注意：上述步骤中，向量的叉乘运算得到的向量的模长实际上就是平行四边形的面积，而我们要的是三角形的面积，所以需要再除以2才能得到三角形的面积。

同时需要注意的是，向量的叉乘结果的方向可能与我们所期望的三角形的面向相反，这时我们可以按照需要对计算出的面积取绝对值，即使其为正数。

总结起来，求解空间三角形的面积的步骤如下：
1. 根据给定的三角形顶点坐标，计算向量AB和向量AC。
2. 使用向量AB和向量AC计算得到向量N。
3. 计算向量N的模长，得到平行四边形的面积。
4. 除以2得到三角形的面积，可能需要取绝对值以保证结果为正数。

Answer 4

已知三角形的三个顶点坐标为 A(x1, y1, z1), B(x2, y2, z2) 和 C(x3, y3, z3)，可以使用向量运算来计算三角形的面积。下面是一种常用的计算方法：
1. 首先，计算向量 AB 和向量 AC。
AB = B - A = (x2 - x1, y2 - y1, z2 - z1)
AC = C - A = (x3 - x1, y3 - y1, z3 - z1)
2. 然后，计算向量的叉乘 AC × AB。
该叉乘的结果是一个新的向量，记为向量 N。
N = AC × AB
3. 接下来，计算向量 N 的长度，即 |N|。
|N| 表示向量 N 的模长。
4. 最后，计算三角形的面积 S。
S = 0.5 * |N|
注意：这个方法求得的面积为三角形的二维面积，在三维空间中仅对平面三角形有效。
请注意，以上计算方法是基于向量的几何解释，可以给出三角形的有向面积。如果需要得到无向面积，可以取绝对值或者将面积结果取绝对值之后除以2。

Answer 5

简单分析一下，详情如图所示