Question

在三角形ABC中,AB=12,AC=10,BC=9,AD是BC边上的高,将三角形按如图所示的方法折叠，使点A与点D重合，

折痕为EF，则三角形DEF的周长为？
这题答案是15.5
我想问：为什么说折叠后EF就是三角形的中位线了？E、F为什么是AB、AC的中点？

Answer 1

设EF与AD交于G
由折叠可知AG=GD
易证明△AEF∽△ABC
AE/AB=AF/AC=AG/AD=1/2
所以E、F是AB、AC的中点
所以折叠后EF就是三角形的中位线了

Answer 2

解：∵△EDF是△EAF折叠以后形成的图形，
∴△EDF≌△EAF，
∴∠AEF=∠DEF，
∵AD是BC边上的高，
∴EF∥CB，
又∵∠AEF=∠B，
∴∠BDE=∠DEF，
∴∠B=∠BDE，
∴BE=DE，
同理，DF=CF，
∴EF为△ABC的中位线，
∴△DEF的周长为△EAF的周长，即AE+EF+AF=12（AB+BC+AC）=12（12+10+9）=15.5．
故选D．

Answer 3

解：∵△EDF是△EAF折叠以后形成的图形，
∴△EDF≌△EAF，
∴∠AEF=∠DEF，
∵AD是BC边上的高，
∴EF∥CB，
又∠AEF=∠B，
∴∠BDE=∠DEF，
∴∠B=∠BDE，
∴BE=DE，
∴EF为△ABC的中位线，
∴△DEF的周长为△EAF的周长，即AE+EF+AF=（AB+BC+AC）=（12+10+9）=15.5．