已知直线y=x+b与抛物线y2=2px(p>0)相交于A,B两点,若OA垂直于OB,(O为坐标原点)且S△AOB=2√5，求抛物线方程
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把直线方程 y=x+b 代入抛物线方程，得
（x+b)²=2px
x²-2(p-b)x+b²=0
直线与抛物线的两个交点A，B的横坐标是这个关于x的一元二次方程的两个根x1,x2
则 x1+x2=2(p-b) x1x2=b²
于是 y1+y2=(x1+x2)+2b=2p-2b+2b=2p
y1y2=x1x2+b(x1+x2)+b²=2b²+2pb-2b²=2pb
∵OA⊥OB
∴(y1/x1)(y2/x2)=y1y2/x1x2=2pb/b²=2p/b=-1
p=-b/2
x1+x2=2p-2b=-3b
y1y+2=-b y1y2=-b²
∵三角形OAB面积为 2√5
而 |AB|=√(x1-x2)²+(y1-y2)²=√(x1+x2)²-4x1x2+(y1-y2)²-4y1y2
=√(-3b)²-4b²+(-b)²-4(-b²)=√10b
原点O到AB的距离是 d＝|b|/√2
∴√5b²/2=2√5
b²=4 b=±2
∴p=-b/2=±1
因此，所求的抛物线是y²=2x 或 y²=-2x
（x+b)²=2px
x²-2(p-b)x+b²=0
直线与抛物线的两个交点A，B的横坐标是这个关于x的一元二次方程的两个根x1,x2
则 x1+x2=2(p-b) x1x2=b²
于是 y1+y2=(x1+x2)+2b=2p-2b+2b=2p
y1y2=x1x2+b(x1+x2)+b²=2b²+2pb-2b²=2pb
∵OA⊥OB
∴(y1/x1)(y2/x2)=y1y2/x1x2=2pb/b²=2p/b=-1
p=-b/2
x1+x2=2p-2b=-3b
y1y+2=-b y1y2=-b²
∵三角形OAB面积为 2√5
而 |AB|=√(x1-x2)²+(y1-y2)²=√(x1+x2)²-4x1x2+(y1-y2)²-4y1y2
=√(-3b)²-4b²+(-b)²-4(-b²)=√10b
原点O到AB的距离是 d＝|b|/√2
∴√5b²/2=2√5
b²=4 b=±2
∴p=-b/2=±1
因此，所求的抛物线是y²=2x 或 y²=-2x
更多追问追答
追问
x1+x2=2(p-b) x1x2=b²
中x1+x2为什么等于b的平方
追答
这是一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
若一元二次方程ax²+bx+c=0的两根为x1,x2,则 x1+x2=-b/a,x1x2=c/a
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