Question

已知椭圆c:x2/a2+y2/b2=1的离心率为根号3/2，过右焦点f且斜率为k的直线与c交与A.B两点，若AF=3FB.求k

不用椭圆第二定理怎么做？

Answer 1

∵a²=b²+c² 且c/a=√3/2
∴a²=4b² , c²=3b² , ∴右焦点为F（√3b,0)
∴椭圆方程为：x²/4b²+y²/b²=1 , 即x²+4y²=4b²
设A（x1,y1) , B(x2,y2) （不妨设y1>0 , y2<0）
则得方程：x1²+4y1²=4b² ……①
x2²+4y2²=4b² ……②
由已知：向量AF=3·向量FB
∴(√3b-x1 , -y1)=3·（x2-√3b , y2)
∴ √3b-x1▔=3(x2-√3b) ，即x1=4√3b-3x2……③
-y1=3y2▔ 即y1= - 3y2▔ ……④
将③④代入①并整理得：9（x²+4y2²)－24√3 bx2+44b²=0 ……⑤
将②代入⑤：36b²－24√3 bx2+44b²=0 即
解得：x2= 10b/(3√3)=10√3·b/9
y2= - √6·b/9
∴k= (y2－0)/(x2－√3b))=(- √6·b/9)/(10√3·b/9－√3b)=√2·b