Question

如图在三角形ABC中，AC=AB，以AB为直径的圆O分别交AC,BC于点D,E，点F在AC的延长线上，且∠CBF=1／2∠CAB

（2）若AB=5，sin∠CBF=√5／5。求BC和BF长
网上有人问过这个问题，但是他好像回答的有好多错误的。。谢谢。。

Answer 1

解:连接AE,BD.AB为直径,则:∠AEB=∠ADB=90°;又AB=AC.
∴∠BAE=∠CAE=(1/2)∠CAB=∠CBF,sin∠CBF=sin∠BAE=BE/AB.
即√5/5=BE/5,BE=√5,BC=2BE=2√5;AE=√(AB²-BE²)=2√5.
∵∠DBC=∠CAE=∠BAE,则sin∠DBC=sin∠BAE,即CD/BC=√5/5,CD=(√5/5)BC=2.
∴AD=3.连接DE,则∠EDC=∠ABE(圆内接四边形的外角等于它的内对角);
又AB=AC,∠ECD=∠ABE.故:∠EDC=∠ECD,∠ADE=∠BCF(等角的补角相等);
∴⊿BCF∽⊿ADE,BF/AE=BC/AD,BF/(2√5)=(2√5)/3,BF=20/3

Answer 2

∵AB=AC
∴△ABC为等腰三角形
做AM⊥BC于M，则AM为三角形的高、中线和角平分线
∠BAM=1/2∠CAB=∠CBF
sin∠BAM=sin∠CBF=√5/5
BM=ABsin∠BAM=5*√5/5=√5
BC=2BM=2√5

∠CAB为三角形内角，∠CBF=1/2∠CAB
∴∠CBF为锐角
sin∠CBF=√5/5
cos∠CBF=√(1-1/5) = 2√5/5
tan∠CBF=sin∠CBF/cos∠CBF=1/2
tan∠CAB=tan(2∠CBF) = 2tan(2∠CBF)/{1-tan∠CBF)^2" = 2*1/2 / {1-(1/2)^2} = 4/3
∠ABC=∠ACB=[180°-∠CAB)/2] = 90°-∠CAB/2
∠ACB=∠CBF+∠F
∠F = ∠ACB-∠CBF = 90°-∠CAB/2-∠CBF = 90°-∠CAB/2--∠CAB/2 = 90°-∠CAB
△ABF为直角三角形
BF=ABtan∠FAB=5*4/3 = 20/3

Answer 3

没那么复杂吧= =
我看了看。其实就是把CM求出来再用△FMC∽△FBA用比例来求不久行了嘛