Question

函数f(x)=x^2(x-a) 求f(x）在区间【1,2】的最小值h(a)

Answer 1

解：f(x)=x^2(x-a) ，故f(1)=1-a，f(2)=4(2-a)，f(1)-f(2)=3a-7，故：
当a≤7/3时，f(1)≤f(2)；
当a>7/3时，f(2)<f(1)。
令f'(x)=2x(x-a)+x^2=x(3x-2a)=3x(x-2a/3)=0，解得x1=0,x2=2a/3
f''(x)=6x-2a=6(x-a/3)
若2a/3<1也即a<3/2，则x2=2a/3<1，f(x)在区间[1,2]无驻点，故f(x)在区间[1,2]的最小值必在区间端点f(1)或f(2)取得。
于是，当a<3/2时，h(a)=f(1)=1-a；
若1≤2a/3≤2也即3/2≤a≤3，则f(x)在区间[1,2]的最小值，不仅可能在区间端点f(1)或f(2)取得，也可能在驻点f(x2)=f(2a/3)=(2a/3)^2*(2a/3-a)=-4/27*a^3处取得。由于f''(2a/3)=6(2a/3-a/3)=2a>0，故f(2a/3)即为区间[1,2]上的极小值点。而当2a/3≤x≤2时，f'(x)=3x(x-2a/3)≥0，在该区间f(x)单增；当1≤x≤2a/3时，f'(x)=3x(x-2a/3)≤0，在该区间f(x)单减，故极小值点也为最小值点。于是h(a)=f(2a/3)=-4/27*a^3；
若2<2a/3，也即a>3时，x2=2a/3>2，则f(x)在区间[1,2]无驻点，故f(x)在区间[1,2]的最小值必在区间端点f(1)或f(2)取得。
于是，当a>3时，h(a)=f(2)=4(2-a)
综上，f(x)在区间[1,2]的最小值h(a)为：
1-a ,a<3/2
h(a)={ -4/27*a^3 ,3/2≤a≤3
4(2-a) ,a>3

Answer 2

2≤a≤3，则f(x)在区间[1,2]的最小值，不仅可能在区间端点f(1)或f(2)取得，也可能在驻点f(x2)=f(2a/3)=(2a/3)^2*(2a/3-a)=-4/27*a^3处取得。由于f''(2a/3)=6(2a/3-a/3)=2a>0，故f(2a/3)即为区间[1,2]上的极小值点。而当2a/3≤x≤2时，f'(x)=3x(x-2a/3)≥0，在该区间f(x)单增；当1≤x≤2a/3时，f'(x)=3x(x-2a/3)≤0，在该区间f(x)单减，故极小值点也为最小值点。于是h(a)=f(2a/3)=-4/27*a^3；
若2<2a/3，也即a>3时，x2=2a/3>2，则f(x)在区间[1,2]无驻点，故f(x)在区间[1,2]的最小值