Question

如图，有一块面积为1的正方形ABCD，M、N分别为AD、BC边上的中点，将点C折至MN上，落在点P的位置，折痕为BQ

连接PQ，求证：以PQ为边长的正方形的面积为三分之一

Answer 1

证明：根据题意，Q点在CD上，P点即为C点，

      做辅助线QE垂直于MN，E点在MN上，

      ∠BPQ=∠BCD=∠PEQ=90°，

      因为正方形ABCD的面积为1，所以AB=BC=CD=DA=1

          BP=BC=1

         M、N分别为AD、BC边上的中点,所以，MN垂直于BC，即∠BNM=90°；BN=1/2BC=1/2；

     在△BPN中，BP=1,BN=1/2,所以∠BPN=30°；又∵∠BPQ=90°，∴∠NPQ=60°

     即∠EPQ=60°

     又∵Q点在CD上，E点在MN上，且QE垂直于MN，可得，QE=0.5

        在△EPQ中，∠EPQ=60°，∠PEQ=90°，QE=0.5，则PQ=0.5/sin60°

     所以，以PQ为边长的正方形的面积等于0.5/sin60°×0.5/sin60°=1/3.