Question

极坐标求二重积分

想问书中D2的图像是圆心在（-1，0）半径为1的圆
那么打问号的部分，积分的上限下限为什么成了这样？

Answer 1

首先，要牢记极角是以从原点出发的射线，从ox轴开始逆时针旋转所成的角。
其次，确定积分区域D极角的变化范围时，只需看从原点出发的射线逆时针旋转时，什么时候进入积分区域、什么时候滑出积分区域就够了，极角的变化范围就是从进入时的极角角度到滑出时的极角角度。
由于由于极角的终边射线从极角是π/2时开始进入D2，而在极角是3π/2时滑出D2，所以D2的极角变化范围是π/2≤cita≤3π/2.
最后，为了确定极半径r的变化范围，只需在极角的变化范围内任取一个极角cita，看这个极角的终边何时进入积分区域、又何时滑出积分区域即可。
在π/2到3π/2之间任取一个极角，其终边显然是从原点开始进入D2，而从小圆周处滑出D2，注意到小圆周曲线的极坐标方程是r＝-2cos(cita) （如果不能直接看出这个极坐标方程，只需将x＝rcos(cita), y＝rsin(cita)代入小圆的直角坐标方程即可求出极坐标方程），有0≤r≤-2cos(cita).