Question

这道二重积分题 如果想按红色所写那样把后一个积分的r换成1+cosθ 该怎么做？

Answer 1

∫(0，π) dθ∫(0，1+cosθ) r³sinθcosθdr
＝∫(0，π) dθ 1/4 sinθcosθr^4 |(0，1+cosθ)
＝1/4∫(0，π) sinθcosθ (1+2cosθ＋cos²θ)²dθ
＝1/4 ∫(0，π) sinθcosθ [1+4cosθ＋6cos²θ＋4cos³θ＋(cosθ)^4]dθ
＝1/4 ∫(0，π) [sinθcosθ＋4cos²θsinθ＋6cos³θsinθ＋4(cosθ)^4 sinθ ＋(cosθ)^5 sinθ]dθ
＝1/8 ∫(0，π)sin2θdθ －∫(0，π) cos²θdcosθ －3/2 ∫(0，π) cos³θdcosθ －∫(0，π) (cosθ)^4 dcosθ －1/4∫(0，π) (cosθ)^5 dcosθ
＝－1/16 cos2θ|(0，π) －1/3 cos³θ|(0，π)
－3/8 (cosθ)^4 |(0，π) －1/5 (cosθ)^5 |(0，π) －1/24 (cosθ)^6 |(0，π)
＝2/3 +2/5
＝16/15

追问

有方便看的版本吗。。

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