Question

高中数学立体几何求解

能详细写下第二问吗，如果可以用几何方法再解一下第一问。谢谢了

Answer 1

利用勾股定理可以求出
AC=2√6，BD=2√3
底面ABCD的面积为
½(2+4)×2√2=6√2
而½AC×BD=6√2
∴AC⊥BD
∴平面ACD1⊥平面D1DBB1

Answer 2

第一问DD1的长度有人告诉你是2?你的D1(0,0,2)怎麼来的?而且第二问就是在叫你求这个长度,你直接设为2,真是闻所未闻
(1)由已知数据以及平面几何知识可知AC⊥BD

又∵DD1⊥面ABCD,∴DD1⊥AC

∴AC⊥面BB1D1D

∴面ACD1⊥面BB1D1D
(2)由棱台的几何性质可知AA1,BB1,CC1均交於一点,设为P
且∵D1C1/DC=1/2,∴DD1=PD/2

用几何法求PD,最快的方法是利用三正弦定理结合三馀弦定理,但考试的时候能想到向量还是优先用向量
易证BD=BC=2√3
过D作DM⊥PA於M,在面PAB上找一点N,使得MN∥AB∥CD,MN=CD,并且射线MN方向与射线DC方向一致
∵PD⊥AB,AD⊥AB,∴AB⊥面PAD

∴AB⊥DM
又∵DM⊥PA,∴DM⊥面PAB,∴CN⊥面PAB
∴∠CBN是直线CB与面PAD所成角

设PD=x,勾股定理得PA=√(x²+8),面积法得DM=CN=2√2x/√(x²+8)
sin∠CBN=CN/CB=√2x/√(3x²+24)

cos∠A-BB1-C=-2√2/√15,∴sin∠A-BB1-C=√7/√15
由三正弦定理,sin∠PBC=sin∠CBN/sin∠A-BB1-C=√10x/√(7x²+56)
勾股定理得PB=√(x²+12),∴cos∠PBD=2√3/√(x²+12)
馀弦定理得cos∠DBC=1/3,由三馀弦定理,cos∠PBC=cos∠PBDcos∠DBC=2/√(3x²+36)
∵cos²∠PBC+sin²∠PBC=1
∴10x²/(7x²+56)+4/(3x²+36)=1
解得x=4
∴DD1=2

追问

抱歉😅是我审题错误，感谢您的解答