Question

在数列{an}中,已知a1=1,an+1=2^n+1乘an/an+2^n,(1)证明数列2^n/an是等差数列(2)求数列{an}的通项公式an

(3)设bn=n(n+1)an,求数列bn的前N项SN

Answer 1

(1)、
证：
a(n+1)=2^(n+1)an/(an+2^n)
2^(n+1)/a(n+1)=(an+2^n)/an=1+2^n/an
2^(n+1)/a(n+1)-2^n/an=1，为定值。
2^1/a1=2/1=2
数列{2^n/an}是以2为首项，1为公差的等差数列。
(2)
2^n/an=2^1/a1+(n-1)=2+n-1=n+1
an=2^n/(n+1)
数列{an}的通项公式为an=2^n/(n+1)
(3)
bn=n(n+1)an=n(n+1)2^n/(n=1)=n×2^n
Sn=b1+b2+...+bn=1×2+2×2^2+3×2^3+...+n×2^n
2Sn=1×2^2+2×2^3+...+(n-1)×2^n+n×2^(n+1)
Sn=2Sn-Sn=-(2+2^2+...+2^n)+n×2^(n+1)
=-2(2^n-1)/(2-1)+n×2^(n+1)
=-2^(n+1)+2+n×2^(n+1)
=(n-1)×2^(n+1)+2
Sn=(n-1)×2^(n+1)+2

Answer 2

1.等式两边同时处于an*a(n+1)就可以得出(2^n)/an是等差数列。
2.利用第一问的结果，累加，就可以得出an=(2^n)/(n+1).
3.bn=n*2^n. bn-b(n-1)=(n+1)*2^(n-1),依次累加就可以了。