Question

求教：已知正项数列｛an｝，其前N项和Sn满足10Sn=an^2+5an+6,且a1，a3，a15成等比数列，求｛an｝通项公式

Answer 1

已知
10Sn=an^2+5an+6
式1
当n>1时，
10S（n-1）=a（n-1）^2+5a（n-1）+6
式2
式1减式2
得
10Sn-10S（n-1）=an^2+5an+6-a（n-1）^2-5a（n-1）-6
化简得到
[an-a(n-1)][an+a(n-1)]=5[an+a(n-1)]
式3
注：a(n-1)是
an的上一项
当an+a(n-1)=0时，即an=-a(n-1)
数列{an}即为等比数列
其公比为
q=-1；
当an+a(n-1)不为0时，式3
两边可以消去
an+a(n-1)
得到
[an-a(n-1)]=5
数列{an}就为等差数列
其公差是
d=5；
10Sn=an^2+5an+6
当n=1时，
可得
10a1=a1^2+5a1+6
得到
a1=2
or
a1=3；
再根据a1，a3，a15成等比数列
可得：
a3^2=a1*a15
式4
看式4
是否满足上面的等比数列或者等差数列
等比数列验证：
(a1*q^2)=a1*a1*q^14
q^2=q^14=1
满足
an=a1*q^(n-1)
an=2*(-1)^(n-1)
or
an=3*(-1)^(n-1)
等差数列验证：（a1+2d）^2=a1*(a1+a1+14d)
式5
显然
当a1=2or3
式5
不成立。
最后结论：an=2*(-1)^(n-1)
or
an=3*(-1)^(n-1)
好久没玩高中数学了，不知道对不对，希望分析对你有帮助。