Question

数学问题求解啊！！

已知f(x)是在定义[a,b]上的函数，其图像时一条连续的曲线，且满足下列条件：①f(x)的值域为M，且M属于区间[a,b];②对于任意不相等的x,y属于区间[a,b]，都有|f(x)-f(y)|<|x-y|
那么关于x的方程f(x)=x在区间[a,b]上根的情况是：
A.没有实数根
B.有且仅有一个实数根
C.恰有两个不等实数根
D.有无数个不同的实数根
求详细过程

Answer 1

答案是B
1、先说明f(x)-x是单调的。设a<x2<x1<b,由条件②：|f(x1)-f(x2)|<|x1-x2|=x1-x2,故
（f(x1)-x1）-（f(x2)-x2）=f(x1)-f(x2)-（x1-x2）<|f(x1)-f(x2)|-（x1-x2）=|f(x1)-f(x2)|-|x1-x2|<0,故
f(x)单调递减。
2、然后证明有零点。由条件①：f(a)-a>0,f(b)-b<0,由零点存在定理，存在零点。
综上，单调函数若有零点，则有且只有一个零点。

Answer 2

令g(x)=f(x)-x, 由于f(x)的值域含于[a,b], 则必有f(a)>=a以及f(b)<=b, 从而必有
g(a)=f(a)-a>=0 以及 g(b)=f(b)-b<=0,
由因f(x)为连续函数, 显然g(x)也连续, 故根据零点存在定理, 易见g(x)在[a,b]内必有零点, 即f(x)=x在[a,b]上必有根.
下面证明这个根是唯一的.
假设有不止一个根, 即至少两根, 设其中两个根为x1, x2, 其中x1≠x2且x1,x2∈[a,b]. 则有
f(x1)=x1, f(x2)=x2,
于是|f(x1)-f(x2)|=|x1-x2|
这显然与题设2 "对于任意不同的x,y∈[a,b],都有|f(x)-f(y)|<|x-y|" 矛盾, 故得证.

Answer 3

B

Answer 4

c