Question

已知向量a=（2√3cosx，cosx）b=（sinx，2cosx），设函数f(x)=a·b

（1）当x∈[兀/6，兀/2]，求函数f(x)的值域
（2）将函数y=f(x)的图像向右平移兀/12个单位长度后，再将得到的图像个点向下平移一个单位长度，得到函数y=g(x)的表达式并判断奇偶性

要有详细过程的、谢谢了！！！

Answer 1

解：(1) f(x)=a.b=2√3cosxsinx+2cos^2x
=√3sin2x+2(1+cos2x)/2.
=2[(√3/2)sin2x+(1/2)cos2x]+1.
=2(sin2xcosπ/6+cos2xsinπ/6)+1.
∴f(x)=2sin(2x+π/6)+1
∵x∈[π/6,π/2], f(π/6)=2sin(2*π/6+π/6)+1=2sinπ/2+1.
∴f(π/6)=2+1=3.
f(π/2)=2sin(2*π/2+π/6)+1=2six(π+π/6)+1=-2sinπ/6+1=-1+1.
∴f(π/6)=0
∴当x∈[π/6,π]时，f(x)∈[0,3]

(2) y=f(x)=2sin(2x+π/6)+1
=2sin2(x+π/12)+1 ---->将x向右移π/12个单位长度得 y=2(sin2(x+π/12-π/12)+1. ----->
y=2sin2x+1. ---->再将整个图像向下平移一个单位长度---->y=2sin2x+1-1 ----->
y=2sin2x.--->g(x)
∴g(x)=2sin2x.
g(-x)=2sin2(-x)=2sin(-2x)=-2sin2x=-g(x)
∴g(x) 是偶函数。

Answer 2

f(x)=(2√3cosx,cosx)(sinx,2cosx)=2√3sinxcosx+2cosx^2=√3sin2x+cos2x+1=2sin(2x+π\6）+1
当x∈（π\6,π\2） f(x)∈（0，3）
f(x)=2sin2(x+π\12+π\12)+1-1=2sin(2x+π\3)
画图可得为偶函数