Question

高三数学圆锥曲线

已知抛物线C:y=2px, 其中P>0,过定点M(p,0)任做一直线于抛物线相交于A,B两点。O为原点。
1.若/MA/=2/MB/,且三角形OAB的面积为6，求p的值
2。问是否存在一条于垂直于x轴的定直线，被以线段MA为直径的圆截得得弦长为定值？若存在，试求出此定直线方程及弦长；若不存在，请说明理由。
希望有过程，没过程告诉我思路也行，我想知道1.中的/MA/=2/MB/怎么用

Answer 1

此题有点难度：
1、
设A(x1，y1)、B(x2，y2)，
AB：y=k(x-p)，即x=(1/k)y + p (为了方便打字，我下面用m代替1/k，即x=my +p)
联立直线、抛物线，消去x，得
y²=2p(my+p)，即y²-2pmy-2p²=0
y1y2= -2p² …… ①
原点O到直线AB距离
d=p/√(1+m²)
|AB|=√[(x1-x2)²+(y1-y2)²] (注：x1-x2=(my1+p)-(my2+p)=m(y1-y2) )
=√[ m²(y1-y2)²+(y1-y2)²]
=√[( m²+1)(y1-y2)²]
= |y1-y2|√(m²+1)
∵|MA|=2|MB|，∴|y1|=2|y2|，
又∵y1、y2一定异号， 即y1y2＜0，即y1=-2y2
∴|y1-y2|=3|y2|
∴|AB|=3|y2|√(m²+1)
∴S=(1/2)|AB|×d=(1/2)×3|y2|√(m²+1) × p/√(1+m²) = (3/2)·|y2|·p=6
|y2|=4/p
|y1|=8/p
∵y1y2＜0
∴y1y2= -32/p² …… ②
由①②，得p=2

2、设A(x1，y1)，则圆心D( (x1+p)/2，y1/2 )
设存在符合条件的直线L：x=n
圆心到L的距离为d=|(x1+p)/2 - n|
|AM|=√[(x1-p)²+y1²]=√[(x1-p)²+2px1] = √(x1²+p²)
∴L被以圆截得的弦长为： (根据那个直角三角形用勾股定理)
2√(R²-d²)=2√[ ( |AM|/2 )² - | (x1+p)/2 - n |² ]
=2√[ (x1²+p²)/4 - | (x1+p)/2 - n | ² ] 全拆开，得
=2√[(-px1/2) + n(x1+ p)-n²]
=2√[(n - p/2)x1 + np-n²]
当n=p/2时，弦长有定值√2 p
直线L：x=p/2

Answer 2

第一题用参数方程做 p=2
第二题没思路
这是我这次的回家作业。。
我想知道LZ是哪里人。。

Answer 3

第一问我会，设a.b两点坐标，y1＝2y2.作准线又得x1 x2关系（有p在里面），代入方程，解得y1＝p y2＝2p 再代入面积计算，我算的p是2 第二问在奋斗中

追问

不懂，什么叫做“作准线又得x1 x2关系”？
我是设了个直线斜率K,再根据点到直线的距离公式以及两点的弦长公式算面积，可是最后有K弄不出来，而且/MA/=2/MB/也没用到