Question

这个方程如何解？

Answer 1

借助软件去解，请看下面，点击放大：

追问

可不可以用分数来表示？

追答

“可不可以用分数来表示？”
个人浅见，估计不可能，四次方程好像没有求根公式（除非准二次方程），恐怕很难用式子表示它的几个根，即使有这样的式子，也必然带根号。不知正确与否。
解这种方程，还可以先粗略估算根的近似值，再不断用牛顿法逼近，逐步提高根的精确度。

Answer 2

没心情解，咯咯地

Answer 3

f（x）=8x⁴-4x³-7x²-4x十4=0
f'(x)=32x³-12x²-14x-4
=2(16x³-6x²-7x-2)
f''(x)=2(48x²-12x-7)=0
Δ=12²十4×48×7
=16（9十12×7）
=16×93
f''零点
x=[12±4√93]/96
=[3±√93]/24
x1=-0.277,x2=0.527
f'(x1)极大=-1.723
0
f（2）=8×2⁴-4x2³-7x2²-4x2十4=64>0
f(x)只有两个根，分别在（0,1）（1,2）
区间。
f可以分解为两个2次因式，一个没有实数解，一个有两个实数根。
牛顿迭代法：
x（n十1）=xn-f（xn）/f'（xn）
得
x1=0.5249566795,x2=1.259610035

追答

4次方程，可以用代数公式求解，中国沈天珩公式最好。可以访问百度百科:四次方程求根公式。

追问

您的这种解法适用于所有的一元四次方程吗？

追答

是的。

追问

下面这个方程我试了一下，为什么不行呢？

请指教！

这样解应该没有错啊？！

请指点！

请指教！

追答

代进去是看极值点的正负，确定f'(x)=0的根的位置。
f'(x)=0是3次，一般有1~3个实根。f''(x)=0,是2次，根是f'(x)=0的极值点的位置。
x的4次方的系数取正，则有如下关系：
f''(x)=0两个根x10,f'(x2)0,f'(x)=0有1个实根，位于(x1,x2);
据此，确定f'(x)=0根的位置，这些根是f（x）的极值点。
根据f（x）的极值点处f（x）的正负，可以确定f（x)=0的根的位置。
为下面迭代求值做准备。

追问

把根代入原始方程，应该有f（x）＝0才对吧？

问题是我把x＝（－3＋√33）/12代入原方程，左边≠右边啊！

老师？

追答

追问

非常感谢您的如此详细的解答！但是有一点还是没弄明白，就是把正根x＝0.23代入原方程检验，左边＝2*0.23^4＋2*0.23^3－2*0.23^2＋2*0.23＋1＝1.3837≠0，这怎么理解？

追答

不是原方程的根，而是二次导数的根。用来判断原方程有几个根，分别在哪个位置。数值解法需要先知道这些，才能解。

追问

那原方程的根怎么求呢？

是写在第二和第三张图片上吧？

这个好像很繁琐！

追答

对