Question

高数，重积分。如图，利用对称性可知。这里的“对称性”是什么意思？

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Answer 1

这里，积分区域是以原点O为圆心，半径的R的圆，此圆关于x轴和y轴都对称。因此1.积分区域D关于x轴（即直线y=0）对称，而被积函数显然是y的奇函数，所以原式=0.2、同理，积分区域关于x轴或y轴对称，因此只要是x或y的奇函数，在D上的积分都等于零。即=∫∫3xdσ+∫∫6ydσ=0+0=0。注意：∫∫dσ几何意义为积分区域的面积，而D表示半径为R圆，所以∫∫9dσ=9*πR²。
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Answer 2

积分区域关于某轴对称，被积函数f关于某轴反对称，则积分是0。

积分区域关于y轴对称，被积函数3x关于y轴反对称。于是积分是0。
积分区域关于x轴对称，被积函数6y关于x轴反对称。于是积分是0。

Answer 3

“3x”的积分，积分区域关于y轴对称，就好比奇函数积分区间关于原点对称时积分结果为0一样。
同理，带“6y”的积分，积分区域关于x轴对称