Question

满足f(x+y)=f(x)+f(y)的函数具体是什么函数，请给出详细的证明

Answer 1

这样的函数只有正比例函数，具体形式为：
f(z)
=
kz
k为常数
设：z=x
f(x)
=
kx
z=y
f(y)
=
ky
当
z=x+y
时，
f(x+y)
=
k(x
+
y)
=
kx
+
ky
=
f(x)
+
f(y)
（1）
其它函数不具这种性质。
这种正比例函数是特殊的线性函数(y=kx+b，b=0)，满足叠加原理：
即单独输入的结果等于总和输入的结果。这就是（1）式所表达的含义。

Answer 2

证明:令x=y=0,有f(0)=2f(0),即f（0）=0

然后令y=-x，有f（0）=f（x）+f（-x）

所以f（-x）=-f（x），f（x）为奇函数.