Question

△ABC中，AB=AC，BD⊥AC于D。CD=1，CD+2BD=2AC，求AB长。

Answer 1

BD=AC-1/2................................(1)

AD=AC-DC=AC-1......................(2)

由勾股定理：

AD^2+BD^2=AB^2=AC^2

把（1）（2）代入上式

（AC-1）^2+（AC-1/2）^2=AC^2

整理得：4AC^2-12AC+5=0

(2AC-5)(2AC-1)=0

AC=5/2       AC=1/2

故 AB=5/2 时，△ABC为锐角三角形

AB=1/2时，△ABC为钝角三角形。

Answer 2

解：在三角形BCD中
tg∠C=BD/CD
因CD=1 故BD=tg∠C-------⑴
在三角形ABD中
tg∠A=BD/AD----- ⑵
又在三角形ABC中AB=AC
则∠A=π-2∠C------⑶
将式⑶带入式⑵中
得到-tg2∠C=BD/AD=-(2tg∠C)/{1-(tg∠C)2}----⑷
由CD+2BD=2AC得CD+2BD=2(CD+AD)
又CD=1则得出BD=AD+0.5------⑸
联合式⑴，⑷，⑸
得(AD+0.5)/AD={2(AD+0.5)}/{(AD+0.5)2-1)
整理得 4（AD）2-4AD-3=0
则AD=1.5或者AD=-0.5
当AD为正时则∠A为锐角
此时由式⑸BD=AD+0.5=2
AB=√(AD)2+(BD)2=2.5
当AD为负时则∠A为钝角AD长度取绝对值0.5
此时由式⑸BD=AD+0.5=1
AB=√(AD)2+(BD)2=√5/2
总结得出
当∠A为锐角时AB=2.5
当∠A为钝角时AB=√5/2