设A为n阶矩阵,r(A)=1.求证 A^2=kA

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茹翊神谕者

2022-12-20 · TA获得超过2.5万个赞
知道大有可为答主
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简单分析一下,答案如图所示

万运旺律午
2020-03-11 · TA获得超过3.8万个赞
知道小有建树答主
回答量:1.2万
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证明:
因为r(A)=1
所以
A
有一个非零列向量α,
且其余列向量都是α的倍数
(事实上,α是A的列向量组的一个极大无关组)
记α=(a1,a2,...,an)'

A
=
(k1α,k2α,...,knα)
某个ki=1.

=
α(k1,k2,...,kn)

β
=
(k1,k2,...,kn)'

A
=
αβ'.
所以
A^2
=
(αβ')(αβ')=α(β'α)β'=(β'α)αβ'=(β'α)A.

k
=
β'α

A^2=kA.
注:
β'α
是两个向量的内积,
是一个数.
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