Question

设A为n阶矩阵，r(A)=1.求证 A^2=kA

Answer 1

简单分析一下，答案如图所示

Answer 2

证明:
因为r(A)=1
所以
A
有一个非零列向量α,
且其余列向量都是α的倍数
(事实上,α是A的列向量组的一个极大无关组)
记α=(a1,a2,...,an)'
则
A
=
(k1α,k2α,...,knα)
某个ki=1.

=
α(k1,k2,...,kn)
记
β
=
(k1,k2,...,kn)'
则
A
=
αβ'.
所以
A^2
=
(αβ')(αβ')=α(β'α)β'=(β'α)αβ'=(β'α)A.
令
k
=
β'α
则
A^2=kA.
注:
β'α
是两个向量的内积,
是一个数.