Question

高数傅里叶级数题目，求具体过程求解答，谢谢

Answer 1

f（x）=x，x∈[0,π]，要拓展到[-π，π]区间，然后展开。
展开为正弦函数：
f（x）=x=a0十a1sinx十a2sin2x十……
前面是奇函数，右边a0不是0,就不是奇函数了，所以a0=0
两边在[-π,π]上积分，左边=0,右边=每一项都是奇函数，积分也是0
两边乘以sinx
∫（-π,π）xsinxdx
=-2∫（0,π）xdcosx
=-2[xcos|(0,π)-∫（0,π）cosxdx]
=-2[-π-sinx|（0,π）]
=2π
右边=
a1∫（-π，π）sin²xdx
=（1/2）a1∫（-π，π）（1-cos2x）dx
=a1[x-sin2x/2]（0,π）
=a1π=2π
a1=2，
n≠1时，
∫（-π，π）sinnxsinxdx
=（1/2）∫（-π，π）[cos（n-1）x-cos（n十1）x]dx
=（1/2）[sin(n-1)x/(n-1)-sin(n十1)x/（n十1）]（-π，π）=0
两边同时乘以sinnx，积分就得到sinnx的系数：
∫（-π，π）xsinnxdx
=-2/n∫（0，π）xdcosnx
=-2/n[xcosnx|（0，π）-∫（0,π）cosnxdx]
=-2/n[πcosnπ-sinnx/n|(0,π）)]
=-2（-1）^n.π/n
an∫（-π,π）sin²nxdx
=an∫（0,π）(1-cos2nx)dx
=an[x-sin2nx/2n](0,π)
=anπ
an=(-1)^(n十1).2/n
f（x）=2∑(-1)^(n十1)/n.sinnx
cosx是偶函数，f（x）拓展后也必须是偶函数，取-π≤x≤0时，f（x）=-x，0≤x≤π时，还是f（x）=x，与上面同样积分求系数。