Question

已知圆C经过点A（-2，0），B（0，2），且圆心在直线y=x上，且，又直线l：...

已知圆C经过点A（-2，0），B（0，2），且圆心在直线y=x上，且，又直线l：y=kx+1与圆C相交于P、Q两点． （Ⅰ）求圆C的方程； （Ⅱ）若OP•OQ=-2，求实数k的值； （Ⅲ）过点（0，1）作直线l1与l垂直，且直线l1与圆C交于M、N两点，求四边形PMQN面积的最大值．

Answer 1

解：（I）设圆心C（a，a），半径为r．
因为圆经过点A（-2，0），B（0，2），所以|AC|=|BC|=r，
所以(a+2)2+a2=a2+(a-2)2=r
解得a=0，r=2，…（2分）
所以圆C的方程是x2+y2=4．…（4分）
（II）方法一：因为OP•OQ=2×2×cos＜OP，OQ＞=-2，…（6分）
所以cos∠POQ=-12，∠POQ=120°，…（7分）
所以圆心到直线l：kx-y+1=0的距离d=1，…（8分）
又d=1k2+1，所以k=0．…（9分）
方法二：设P（x1，y1），Q（x2，y2），
因为y=kx+1x2+y2=4，代入消元得（1+k2）x2+2kx-3=0．…（6分）
由题意得：△=4k2-4(1+k2)(-3)＞0x1+x2=-2k1+k2x1•x2=-31+k2…（7分）
因为OP•OQ=x1•x2+y1•y2=-2，
又y1•y2=(kx1+1)(kx2+1)=k2x1•x2+k(x1+x2)+1，
所以x1•x2+y1•y2=-31+k2+-3k21+k2+-2k21+k2+1=-2，…（8分）
化简得：-5k2-3+3（k2+1）=0，
所以k2=0，即k=0．…（9分）
（III）方法一：设圆心O到直线l，l1的距离分别为d，d1，四边形PMQN的面积为S．
因为直线l，l1都经过点（0，1），且l⊥l1，根据勾股定理，有d12+d2=1，…（10分）
又根据垂径定理和勾股定理得到，|PQ|=2•4-d2，|MN|=2•4-d12，…（11分）
而S=12•|PQ|•|MN|，即
S=12×2×4-d12×2×4-d2=216-4(d12+d2)+d12•d2=212+d12•d2≤212+(d12+d22)2=212+14=7，…（13分）
当且仅当d1=d时，等号成立，所以S的最大值为7．…（14分）
方法二：设四边形PMQN的面积为S．
当直线l的斜率k=0时，则l1的斜率不存在，此时S=12•23•4=43．…（10分）
当直线l的斜率k≠0时，设l1：y=-1kx+1
则y=kx+1x2+y2=4，代入消元得（1+k2）x2+2kx-3=0
所以△=4k2-4(1+k2)(-3)＞0x1+x2=-2k1+k2x1•x2=-31+k2|PQ|=1+k2|x1-x2|=1+k24k2+12k2+121+k2=1+k216k2+121+k2
同理得到|MN|=1+1k2161k2+121+1k2=1+k212k2+161+k2．…（11分）
S=12•|PQ|•|MN|=12•(1+k2)(16k2+12)(12k2+16)(1+k2)2=12•16(4k2+3)(3k2+4)1+k2=212k4+25k2+121+k2=212(k4+2k2+1)+k2k4+2k2+1
=212+k2k4+2k2+1=212+1k2+2+1k2…（12分）
因为k2+2+1k2≥2+2k2•1k2=4，
所以 S≤212+14=2×72=7，…（13分）
当且仅当k=±1时，等号成立，所以S的最大值为7．…（14分）