Question

如图,AB是圆O的直径,点C在BA的延长线上,直线CD与圆O相切于点D,弦DF垂...

如图,AB是圆O的直径,点C在BA的延长线上,直线CD与圆O相切于点D,弦DF垂直AB于点E,线段CD=10,连接BD （1）求证：角CDE=2角B （2）若BD：AB=根号3：2,求圆O的半径及DF的长

Answer 1

（1）证明：因为AB是直径,DF垂直AB所以AB垂直平分DF（垂径定理）连接BF则∠CBD=∠CNF所以∠DBF=2∠CBDCD是圆O的切线,∠CDE是弦切角所以∠CDE=∠DBF所以∠CDE=2∠CBD（即∠B）（2）设圆O的半径为a,则AB=2a因为BD：AB=√3：2所以BD=√3a连接OD,AD则OD垂直CD,AD垂直BD由勾股定理AD²+BD²=AB²解得AD=a所以三角形AOD是正三角形（AO=OD=AD=a）角COD=60度所以角C=30度那么在直角三角形COD中OC=2OD=2a根据勾股定理OC²=OD²+CD²4a²=a²+100a²=100/3a=10√3/3圆的半径为10√3/3在直角三角形CED中角C=30度所以DE=1/2CD=10×1/2=5所以DF=2DE=10