证明不等式x/(1+x)<ln(1+x)<x.(x>0)
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设f(x)=x-ln(1+x),f'(x)=1-1/(x+1)>0所以函数在想>=0上为增函数,f'(x)=0,x=0,由于函数在想>=0上为增函数,所以最小值就是f(0)=0。在x>0,f(x)=x-ln(1+x),>0即x>ln(1+x)
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和上面的答案差不多。
令f(x)=x/(1+x)-ln(1+x)
(x>0)
则f'(x)=-x/(1+x^2)<0
,所以f(x)在x>0时是减函数,所以f(x)<f(0)=0,即f(x)<0,所以x/(1+x)-ln(1+x)<0
即x/(1+x)<ln(1+x)
同理令g(x)=ln(1+x)-x
(x>0)
则g'(x)=1/(1+x)-1=-x/(1+x)<0,所以g(x)在x>0时是减函数,所以g(x)<g(0)=0,即g(x)<0,所以ln(1+x)-x<0
即ln(1+x)<x
综上所述原不等式成立
,即x/(1+x)<ln(1+x)<x
令f(x)=x/(1+x)-ln(1+x)
(x>0)
则f'(x)=-x/(1+x^2)<0
,所以f(x)在x>0时是减函数,所以f(x)<f(0)=0,即f(x)<0,所以x/(1+x)-ln(1+x)<0
即x/(1+x)<ln(1+x)
同理令g(x)=ln(1+x)-x
(x>0)
则g'(x)=1/(1+x)-1=-x/(1+x)<0,所以g(x)在x>0时是减函数,所以g(x)<g(0)=0,即g(x)<0,所以ln(1+x)-x<0
即ln(1+x)<x
综上所述原不等式成立
,即x/(1+x)<ln(1+x)<x
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