Question

计算星形线x=acos^3t，y=asin^3t的全长

Answer 1

应该是假设了线的线密度是一个定值，所以线的质量和长度成正比。
ds是长度微元，ds
=
\sqrt(dx^2
+
dy^2)。
i是长度，乘以线密度就是总的质量了
质心是位置矢量，定义为
\int
\vec{r}*dm
/
\int
dm.
\int
是积分
dm
是质量微元，在你这里就是
线密度*ds啦。\vec{r}是位置，你可以拆成
(x,
y)，分别作积分。稍加化简就是书上的结果了。你书上线密度这个量被化简掉了，所以看起来不舒服。
星形线是关于x，y轴对称的，[0,
pi]图像就在y>0上，左右对称，质心的x
=
0.
[0,
3pi/2]，
质心就在y
=
-x
线上。要是[0,
2pi],
那就是完整的星形线，质心在原点。

Answer 2

计算星形线：x=acos³t，y=asin³t
(a>0)
的周长。
解：dx/dt=-3acos²tsint；dy/dt=3asin²tcost；故周长S：
【星形线既是轴对称图形，也是中心对称图形，四个象限内的图形是一样的；因此计算其
周长时，只需计算第一象限[0，π/2]内的周长，然后乘以4就可以了。】

Answer 3

计算星形线：x=acos³t，y=asin³t
的周长。
由对称性,S＝4∫(0→a)ydx
＝4∫(π/2→0)
a(sint)^3
d[a(cost)^3]
＝12a^2∫(0→π/2)
(sint)^4(cost)^2
dt
＝12a^2∫(0→π/2)
[(sint)^4－(sint)^6]
dt
＝12a^2[3/4*1/2*π/2－5/6*3/4*1/2*π/2]
＝(3πa^2)/8
扩展资料
不定积分的公式
1、∫
a
dx
=
ax
+
C，a和C都是常数
2、∫
x^a
dx
=
[x^(a
+
1)]/(a
+
1)
+
C，其中a为常数且
a
≠
-1
3、∫
1/x
dx
=
ln|x|
+
C
4、∫
a^x
dx
=
(1/lna)a^x
+
C，其中a
>
0
且
a
≠
1
5、∫
e^x
dx
=
e^x
+
C
6、∫
cosx
dx
=
sinx
+
C
7、∫
sinx
dx
=
-
cosx
+
C
8、∫
cotx
dx
=
ln|sinx|
+
C
=
-
ln|cscx|
+
C
9、∫
tanx
dx
=
-
ln|cosx|
+
C
=
ln|secx|
+
C
10、∫
secx
dx
=ln|cot(x/2)|
+
C
=
(1/2)ln|(1
+
sinx)/(1
-
sinx)|
+
C
=
-
ln|secx
-
tanx|
+
C
=
ln|secx
+
tanx|
+
C