Question

求解一道物理的万有引力与航天的自主招生题

1.牛顿证明了：一个均匀球壁状物质层，对放在其内部区域的物体不产生引力作用，而对放置在外部的物体则产生引力作用，而且其作用就像是整个球壁层的质量集中在它的几何中心一样。假定地球为均匀球体，设想一个沿着地球旋转轴穿过地球的通道，不计空气和摩擦阻力的影响，将一物体放在通道的入口处，该物体由静止开始下落到出口所需时间为t1。如果在地球表面通道的入口处发射一颗沿赤道飞行的卫星，卫星到达通道出口所需时间为t2，求t1/t2的值。

Answer 1

设地球平均密度是p
M地球=4/3πR^3
由万有引力定律和向心力公式可算出
F=G(4/3πr^3P)m/R^2=m（2π/T2）^2R
解得
T2=2π√（3/4πGP）
t2=T2/2
t1的求法
首先随着运动半径是变动的
所以万有引力也在变化，M也在变化
设物体与地心的距离为r
万有引力F=G(4/3πr^3P)m/r^2=4GπPmr/3=(4GπPm/3)*r
符合F=-kx这一简谐振动回复力公式
负号仅仅是表达方向相反，计算时省略
所以从简谐振动周期公式t=2π√（m/k）这一公式可得出
T1=2π√（3/4πGP)
t1=T1/2
所以t1/t2=1
累死人了！