Question

已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a, M、N分别为A1B和AC上的点，A1M=AN=(三分之根号二）a，

（1）求证：MN//面BB1C1C
(2)求MN的长

Answer 1

面ABCD是底面
（1）作ME⊥AB于E，连接NE
∵ME⊥AB，BB1⊥AB（同一平面内）
∴ME//AB
∴BE/AB=ME/AA1=ME/A1B=(√2a -√2a/3）/√2a =2/3
∴AE/AB=1/3
又∵AN/AC=(√2a/3) / (√2a ) =1/3
∴AE/AB = AN/AC
∴NE // BC面
∵BC∈面BB1C1C NE在平面外
∴NE // 面BB1C1C
同理ME // 面BB1C1C
又∵ME,NE相交于点E
∴面MNE // 面BB1C1C
∴MN//面BB1C1C
（2）∵ME⊥AB，AB∈面ABCD
∴ME⊥面ABCD
∵NE∈面ABCD
∴ME⊥NE
又 ∵ME = 2/3 AA1 = 2a/3 ， NE = 1/3 BC = a/3
∴MN = √5a /3