Question

高数题，x'=x^2-1,x等于多少？？

Answer 1

题目应该是（x→1）吧否则结论不对
问题可转化为
（x→1）lim
lnx=（x→1）lim
(x-1)
由e的定义
e=（t→无穷）lim
(1+1/t)^t
两边取自然对数
1=（t→+无穷）lim
tln(1+1/t)
即
lim（t→无穷）1/t=lim（t→无穷）ln(1+1/t)
令x=1/t+1即知x→1时
（x→1）lim
lnx=（x→1）lim
(x-1)
希望对你有帮助，没懂的话可以继续追问

Answer 2

这三个方程都是一样的类型，就是不显含自变量的，等式右边只有因变量x。这种天生就是变量分离的方程，只要把右边除过来，然后两边积分即可。
比如第一个dx/dt=x²-1，得dx/(x²-1)=dt，注意这一步有个细节性问题，就是不等价转化，原本x²-1在右边，x可以取全体实数，但是现
在到分母上去了，x不等于±1才行，这无形中就丢掉两个可能的解，就是x=±1这两个常数函数特解，你先试试x=±1，发现满足这个方程，所以先知道它有
两个特解，然后再往下做。
dx/(x²-1)=dt两边积分，得∫dx/(x²-1)=t+C
左边的积分是常规的分式积分计
算，先裂项再积分。1/(x²-1)=1/2
[1/(x-1)-1/(x+1)]然后积分，得到左边=1/2
(ln|x-1|-ln|x+1|)+C=1/2
ln|(x-1)/(x+1)|+C（1/x的积分是ln|x|，不要忘了绝对值）
所以积分曲线就是ln|(x-1)/(x+1)|=2t+C，
你可以用渐近行为和对称性大致画出图象。设横坐标表示t，纵坐标是x，先设C=0，画t=t(x)的图象（你可以现在把横坐标看成是因变量，x看成自变
量），然后再让图象可以整体平移就代表了C可以是全体实常数。用渐近行为判断：x趋于无穷的时候应该是2t=0，t=0，所以两边取无穷的时候都是0；另外这是个奇函数，x→-x时ln项分子分母颠倒，多出负号；还有x=±1的时候函数是趋近于无穷的，所以图象大致能判断出是什么样的（这就是个线性分式函数加绝对值，与对数函数的符合，大致还是线性分式函数的样子），而且可以上下随意平移。别忘了两个特解也画上（两个特解正好是±1那个位置，是渐近线，常微分方程里面往往都有这个规律，特解是所有通解曲线的包络线，或者和所有通解都相交，等等）。
第二个也类似，先右边除过来，把特解考虑上，然后两边积分，然后画图（和1类似）。第三个也是这样，不过特解有无穷多，所有x=kπ都是，然后积分，1/cosx积分稍微有点麻烦，用三角有理式通用的方法可以做（可以上下都乘cosx，下面变成1-sin²x，上面变成dsinx，令y=sinx，就是dy/1-y²和1一样了）。