已知抛物线C的顶点在原点,焦点在x轴上,且抛物线上有一点P(4,m)到焦点的距离为6。求抛物线C的方程
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1.不妨设抛物线方程为y²=2px
则A到焦点的距离等于它到准线的距离，而准线方程为x=-p/2
则4
p/2=6
p=4
y²=8x
2.联立直线与抛物线的方程，可得
(kx-2)²=8x
k²x²
4-4kx=8x
k²x²-(4k
8)x
4=0
若设A(x1,y1)B(x2,y2)
则x1,x2为方程的解，
则x1
x2=-[-(4k
8)]/k²=(4k
8)/k²
而AB中点的横坐标应为(x1
x2)/2=(2k
4)/k²=2
则k²-k-2=0,
(k
1)(k-2)=0
k=-1,k=2
而当k=-1时，原方程的△=0，不符题意，舍去
所以k=2
则A到焦点的距离等于它到准线的距离，而准线方程为x=-p/2
则4
p/2=6
p=4
y²=8x
2.联立直线与抛物线的方程，可得
(kx-2)²=8x
k²x²
4-4kx=8x
k²x²-(4k
8)x
4=0
若设A(x1,y1)B(x2,y2)
则x1,x2为方程的解，
则x1
x2=-[-(4k
8)]/k²=(4k
8)/k²
而AB中点的横坐标应为(x1
x2)/2=(2k
4)/k²=2
则k²-k-2=0,
(k
1)(k-2)=0
k=-1,k=2
而当k=-1时，原方程的△=0，不符题意，舍去
所以k=2
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