求非齐次线性微分方程y''-y'=(sinx)^2的特解
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请记住由泰勒级数和正余弦函数所导出的欧拉(Euler)公式：e^(ix)=cosx+isinx
若有不懂，可追问。
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江苏华简晟01
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左右同乘e^-x
左边正好是全微分
(e^(-x) y')'=e^(-x)(sinx)^2
所以d(e^(-x) y')=e^(-x)(sinx)^2 dx
积分
∫d(e^(-x) y')=∫e^(-x)(sinx)^2 dx
e^(-x)y'=∫e^(-x) (1-cos2x)/2 dx
=(1/2)∫e^(-x)dx-(1/2)∫e^(-x)cos2x dx
=-(1/2)e^(-x)-[(1/4)e^(-x)sin2x+(1/4)∫e^(-x)sin2x dx]
=-(1/2)e^(-x)-[(1/4)e^(-x)sin2x-(1/8)e^(-x)cos2x-(1/8)∫e^(-x)cos2x dx]
所以∫e^(-x)cos2x dx=e^(-x)(2sin2x-cos2x)/5 +C
e^(-x)y'=-(1/2)e^(-x)-e^(-x)(2sin2x-cos2x)/10 +C1
y'=-(1/2)-(2sin2x-cos2x)/10 +C1e^(x)
再积一次分
y=-(1/2)x+cos2x/10+sin2x/20+C1e^(x)+C2
左边正好是全微分
(e^(-x) y')'=e^(-x)(sinx)^2
所以d(e^(-x) y')=e^(-x)(sinx)^2 dx
积分
∫d(e^(-x) y')=∫e^(-x)(sinx)^2 dx
e^(-x)y'=∫e^(-x) (1-cos2x)/2 dx
=(1/2)∫e^(-x)dx-(1/2)∫e^(-x)cos2x dx
=-(1/2)e^(-x)-[(1/4)e^(-x)sin2x+(1/4)∫e^(-x)sin2x dx]
=-(1/2)e^(-x)-[(1/4)e^(-x)sin2x-(1/8)e^(-x)cos2x-(1/8)∫e^(-x)cos2x dx]
所以∫e^(-x)cos2x dx=e^(-x)(2sin2x-cos2x)/5 +C
e^(-x)y'=-(1/2)e^(-x)-e^(-x)(2sin2x-cos2x)/10 +C1
y'=-(1/2)-(2sin2x-cos2x)/10 +C1e^(x)
再积一次分
y=-(1/2)x+cos2x/10+sin2x/20+C1e^(x)+C2
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y*=[1/D(D-1)](sinx)^2=[1/(D-1)-1/D][1/2-cos2x/2]=-(x+1)/2+[1/D-1/(D-1)]cos2x/2
=-(x+1)/2+sin2x/4-(D+1)/(-4-1)cos2x/2
=-(x+1)/2+sin2x/4+(1/10)(-2sin2x+cos2x)
=-(x+1)/2+sin2x/20+cos2x/10
=-(x+1)/2+sin2x/4-(D+1)/(-4-1)cos2x/2
=-(x+1)/2+sin2x/4+(1/10)(-2sin2x+cos2x)
=-(x+1)/2+sin2x/20+cos2x/10
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