Question

已知0＜b＜π/2＜a＜π，且cos(a-b/2)=-1/9,sin(a/2-b)=2/3。求cos(a+b)=?

Answer 1

∵0＜b＜π/2，π/2＜a＜π，∴0＜b/2＜π/4，π/4＜a/2＜π/2，
∴－π/4＜－b/2＜0，－π/2＜－b＜0，
∴π/2－π/4＜a－b/2＜π－0，π/4－π/2＜a/2－b＜π/2－0，
∴π/4＜a－b/2＜π，－π/4＜a/2－b＜π/2。

由cos（a－b/2）＝－1/9、π/4＜a－b/2＜π，得：π/2＜a－b/2＜π，
∴sin（a－b/2）＝√｛1－［cos（a－b/2）］^2｝＝√（1－1/81）＝4√5/9。
由sin（a/2－b）＝2/3、－π/4＜a/2－b＜π/2，得：0＜a/2－b＜π/2，
∴cos（a/2－b）＝√｛1－［cos（a/2－b）］^2｝＝√（1－4/9）＝√5/3。

∴cos［（a＋b）/2］
＝cos［（a－b/2）－（a/2－b）］
＝cos（a－b/2）cos（a/2－b）＋sin（a－b/2）sin（a/2－b）
＝－（1/9）×（√5/3）＋（4√5/9）×（2/3）
＝－√5/27＋8√5/27
＝7√5/27。

∴cos（a＋b）＝2｛ cos［（a＋b）/2］｝^2－1＝2（7√5/27）^2－1＝－239/719。

Answer 2

cos[(a+b)/2]= cos[(2a-b)/2-(a-2b)/2] =cos[(2a-b)/2]cos[(a-2b)/2]+sin[(2a-b)/2]sin[(a-2b)/2]
cos[a-(b/2)]=-1/9 -> sin[a-(b/2)]=4根号5/9
sin[(a/2)-b]=2/3 -> cos[(a/2)-b]=根号5/3
cos(（a+b）/2)=7根号5/27
cos（a+b）=2cos^2（（a+b）/2）-1
=2*(7根号5/27)^2-1
=2*245/729-1
=-239/729

Answer 3

无语！？

Answer 4

因为a∈（∏/2,∏）b∈（0,∏）。所以a/2∈（∏/4,∏/2),b/2∈（0,∏/2)
同时可得-b∈（-∏,0),-b/2∈（-∏/2,0)。
所以(a-b/2)∈（0，∏）,（a/2-b)∈(-3∏/4,∏/2)
所以sin(a-b/2)=4√5/9,cos（a/2-b）=√5/3。
sin(a/2+b/2)=sin[(a-b/2)-(a/2-b)]=sin(a-b/2)cos(a/2-b)-sin(a/2-b)cos(a-b/2)=4√5/9*√5/3-2/3*(-1/9)=22/27
cos(a+b)=1-2[sin(a/2+b/2)]^=-239/729