Question

f(x)=nx(1-x)^n在区间[0,1]上的最大值为多少（n是自然数）

Answer 1

求导fn'(x)=n*[(1-x)^(n-1)]*[1-x-nx]
因为
n*[(1-x)^(n-1)]
＞
0，
所以在区间[0，1/(n+1)]上
fn'(x)
＞
0
在区间[1/(n+1)，1]上
fn'(x)
＜
0
因此可以知道f(x)
先增后减，那么他的最大值就是：
f(1/(n+1))
=
[n/(n+1)]*[n/(n+1)]^n

Answer 2

因为
0<=x<=1
，则
0<=1-x<=1
，
所以，由均值不等式得，
f(x)=4*(nx/2)^2*(1-x)^n<=4*{[nx/2+nx/2+(1-x)+(1-x)+...+(1-x)]/(2+n)}^(n+2)=4*[n/(n+2)]^(n+2)
，
当
nx/2=1-x
即
x=2/(n+2)
时，函数有最大值
4*[n/(n+2)]^(n+2)
。