Question

函数展开成幂级数的方法和注意事项？

Answer 1

函数展开为幂级数问题：
1.先看看能不能直接套常用幂级数的公式，
2.看看能不能提取常数等恒等变型为了套用公式，
3.像本题，就可以先把2x放在一边，把剩下得函数变型一下，
4.剩下的函数，你稍微提取一个常数就可以套用常用的幂级数公式，
5.如果是一些反三角函数，这时，可能我们先求导，把它变为有理整式或分式，然后通过变型，套用所学公式，
6.求收敛区间问题，先看x是不是缺项，
7.比如本题，x的2n+1
比方，只有奇数比方，说明是缺项的，
8.对于缺项的幂级数，求收敛区间时，只能用我所写的方法，
9.如果是不缺项的，可以先求ρ，再求R。

Answer 2

第一种做法：
f
'(x)=1/(2+x)=(1/2)σ(-1)ⁿ(x/2)ⁿ
两边从0到x积分得：
f(x)-f(0)=σ[(-1)ⁿ/(n+1)](x/2)^(n+1)
你在做积分时漏了f(0)
f(x)=f(0)+σ[(-1)ⁿ/(n+1)](x/2)^(n+1)
这里的f(0)就是ln2，被你丢了。
第二种做法中，由于你是对ln[1/(1+x/2)]做的展开，设该函数为g(x)，由于g(0)刚好为0，因此你的这个错误被掩盖了。
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