Question

初三一道数学``关于菱形``在线`等答案~```高手来```~

在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠BAC=60°,DE垂直平分BC,垂足为D,交AB于点E,又点F在DE的延长线上，且AF=CE。求证四边形ECAF是菱形。
不对吧。。。BD=CD，不是BE=AE。。。

Answer 1

因为DE平行于AC，且D为BC中点，所以E为AB中点，由角B=30度，AB=2AC，则AE=AC，由角BAC=60度，三角形AEC是正三角形。BE=AE=EC=AC。

过A做DF的垂线，垂足为G，由AF=EC得AF=AE，则AE是角FAE的平分线（等腰三角形性质），又AE平行BC，则角GAB=角FAG=30度，则角FAE=角AFE=角AEF=60度，又角DEC=60度，所以AF与EC平行相等，AFEC是平行四边形且邻边相等，菱形。

Answer 2

因为∠ACB=90，DE垂直平分BC,即：DE为三角形的中位线，∠B=30度，30度角所对直角边为斜边一半，则∠CAE=∠ACE=∠AEC=60度，则EA=AC=EB=CE=EF，因此∠ACE=∠A=60°，因为DE垂直平分BC、∠ACB=90，所以EF//CA，所以∠ACE=∠AEF=60°，所以AC=1/2AB=AE=EB=CE=EF=AF，四边相等的四边形是菱形。证毕。

Answer 3

直角三角形中30度所对的直角边为斜边的一半
所以ac=1/2ab
e为ab的中点
所以ac=ae
又因为cae角为60度
所以三角形ace为等腰三角形
即ac=ce
因为af=ce
所以af=ae
角aef与角bed为对顶角
所以角aef为60度
所以三角形afe为等边三角形
所以ac=fe
所以四边形为菱形

Answer 4

在Rt△ABC中，,∠ABC=30°
由于DE垂直平分BC，则CE=EB
所以E是AB的中点，AE=EB=CE
又AF=CE
则AE=AF
因为 ∠BAC=60°
所以△ACE是等边三角形
因为AC平行于EF，则 ∠AEF=60°
得 △AEF是等边三角形
接下来证明ECAF是菱形就很简单了

Answer 5

由垂直平分定理，EC＝EB
∴∠EBC＝∠ECB＝30°
∠CED＝∠BED＝∠EAC＝∠ECA＝∠AEC＝60°
∴AC＝AE＝CE＝AF
∴∠AFE＝∠AEF＝∠FEA＝60°
即∠FAE＝∠AEC
∴AF‖＝CE
AF＝CE
∴ECAF是菱形。