高一数学,值域怎么求,要过程
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值域问题是高中函数的一个精华问题。
有很多问题都是围绕着他展开的。比如说恒成立问题,值域反求定义与问题(即反函数求定义域)……等等。下面就说一下最基本的集中求值域问题的类型。
首先要着重说的是:求值域,必先看定义域。所有函数都是如此。
1.单调性法
利用函数的单调性。当一个函数单调性很容易判断时,可用定义域来求解。
e.g.1
y=x-√(1-2x).求值域。
解:1-2x≥0,得x≤1/2.
观察得,函数在指定区间内为增函数,所以y有最大值,即1/2-√(1-1)=1/2.
所以值域为(-∞,1/2]。
2.判别式法。适用于y是x的2次函数的情况。且x∈r.
y=(x^2-x)/(x^2-x+1).求值域。
解:将原式变形得
y*(x^2-x+1)=x^2-x.整理得
(y-1)x^2+(1-y)x+y=0.
因为y=1时,推出y=0.即x∈φ
所以y≠1.
x∈r,即此式恒有根,所以δ=(1-y)^2-4(y-1)*y≥0,
解得-1/3≤y≤1.
又因为y≠1,所以
y∈[-1/3,1).
注:此法可用的原因:化成x的式子后发现,x∈r对该式都成立,也就是说有这样的x,一定可以为根,要y来配合。此式由无穷个根,即如果你给了合适的y后,在式子中总能找到x解。那么这个y就是为了保证让式子一定有解才会满足x∈r成立,即判别式大于等于0.
3.分离常数法。适用于分母分子有相同的形式的部分,然后用观察法(单调性法)
y=(2-sinx)/(2+sinx).求值域。
变形为y=(-2-sinx+4)/(2+sinx)=-1+4/(2+sinx)
因为sinx∈[-1,1],所以2+sinx∈[1,3].所以4/(2+sinx)∈[4/3,4].
所以y∈[1/3,3]
4.反表示法。把未知项(含x项)用y来表示,要知道未知项的范围。
y=3^x/(3^x+1).求值域。
解:变形得3^x(1-y)=y.讨论
当y=1,即3^x/(3^x+1)=1.不成立(因为此式小于1)所以y≠1,
则有3^x=y/(1-y).这就是说3^x与y/(1-y)是等同的。那么他们的范围也就等同。也就是说y/(1-y)>0.解得y∈(0,1).
5.几何意义法。题干的形式会让我们产生联想。如想到斜率、两点间距离公式等。
①。y=√(x^2+1)+√[(2-x)^2+4].求值域。
先看定义域,全体实数。那么不用管了。
变形得y=√[(x-0)^2+(0-1)^2]+√[(x-2)^2+(0-2)^2].
y的几何意义是(x,0)点到点(0,1)的距离与(x.0)点到点(2,2)的距离的和。画出图像,观察知,当(x,0)点在直线y-2=3/2(x-2)上时,有最小值。
解直线与x轴交点,得x=2/3.对应的原函数值y=√(4+9)=√13.(勾股定理)
②。求y=sinx/(2-x)的值域。
解:变形得y=-(0-sinx)/(2-cosx).y的几何意义是(2,0)到(cosx,sinx)的斜率的相反数。画图,观察计算得k的范围是[-√3/3,√3/3].
所以y的范围是-k,为[-√3/3,√3/3].
如果你是新生的话,可能有些东西你还没接触到,理解的会差一些。没关系,不出几个月,你就都能学到了。
除了上面我介绍的几种方法外,还有什么换元法,上下同除法,平方去根号法,导数法等等。但最常用的还是上面那几个。
有很多问题都是围绕着他展开的。比如说恒成立问题,值域反求定义与问题(即反函数求定义域)……等等。下面就说一下最基本的集中求值域问题的类型。
首先要着重说的是:求值域,必先看定义域。所有函数都是如此。
1.单调性法
利用函数的单调性。当一个函数单调性很容易判断时,可用定义域来求解。
e.g.1
y=x-√(1-2x).求值域。
解:1-2x≥0,得x≤1/2.
观察得,函数在指定区间内为增函数,所以y有最大值,即1/2-√(1-1)=1/2.
所以值域为(-∞,1/2]。
2.判别式法。适用于y是x的2次函数的情况。且x∈r.
y=(x^2-x)/(x^2-x+1).求值域。
解:将原式变形得
y*(x^2-x+1)=x^2-x.整理得
(y-1)x^2+(1-y)x+y=0.
因为y=1时,推出y=0.即x∈φ
所以y≠1.
x∈r,即此式恒有根,所以δ=(1-y)^2-4(y-1)*y≥0,
解得-1/3≤y≤1.
又因为y≠1,所以
y∈[-1/3,1).
注:此法可用的原因:化成x的式子后发现,x∈r对该式都成立,也就是说有这样的x,一定可以为根,要y来配合。此式由无穷个根,即如果你给了合适的y后,在式子中总能找到x解。那么这个y就是为了保证让式子一定有解才会满足x∈r成立,即判别式大于等于0.
3.分离常数法。适用于分母分子有相同的形式的部分,然后用观察法(单调性法)
y=(2-sinx)/(2+sinx).求值域。
变形为y=(-2-sinx+4)/(2+sinx)=-1+4/(2+sinx)
因为sinx∈[-1,1],所以2+sinx∈[1,3].所以4/(2+sinx)∈[4/3,4].
所以y∈[1/3,3]
4.反表示法。把未知项(含x项)用y来表示,要知道未知项的范围。
y=3^x/(3^x+1).求值域。
解:变形得3^x(1-y)=y.讨论
当y=1,即3^x/(3^x+1)=1.不成立(因为此式小于1)所以y≠1,
则有3^x=y/(1-y).这就是说3^x与y/(1-y)是等同的。那么他们的范围也就等同。也就是说y/(1-y)>0.解得y∈(0,1).
5.几何意义法。题干的形式会让我们产生联想。如想到斜率、两点间距离公式等。
①。y=√(x^2+1)+√[(2-x)^2+4].求值域。
先看定义域,全体实数。那么不用管了。
变形得y=√[(x-0)^2+(0-1)^2]+√[(x-2)^2+(0-2)^2].
y的几何意义是(x,0)点到点(0,1)的距离与(x.0)点到点(2,2)的距离的和。画出图像,观察知,当(x,0)点在直线y-2=3/2(x-2)上时,有最小值。
解直线与x轴交点,得x=2/3.对应的原函数值y=√(4+9)=√13.(勾股定理)
②。求y=sinx/(2-x)的值域。
解:变形得y=-(0-sinx)/(2-cosx).y的几何意义是(2,0)到(cosx,sinx)的斜率的相反数。画图,观察计算得k的范围是[-√3/3,√3/3].
所以y的范围是-k,为[-√3/3,√3/3].
如果你是新生的话,可能有些东西你还没接触到,理解的会差一些。没关系,不出几个月,你就都能学到了。
除了上面我介绍的几种方法外,还有什么换元法,上下同除法,平方去根号法,导数法等等。但最常用的还是上面那几个。
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