Question

多元函数极值和最值区别问题。。。

Answer 1

1.
原则上，求出所有驻点，不可导的点，以及边界点，比较各点处的函数值，
最大的和最小的选出来，即可。
2.
求曲线y=x^2
与直线x-y=2之间的最短距离……
如果你化成一元函数的无条件极值，可以判断这是唯一的极值，且是个极小值，故该点处取得最小值。
如果你使用lagrange条件极值的方法，判断这是唯一的一个条件极值点，问题本身有最小值，故在该点取得最小值。（
因为在无穷远处，距离是无穷大。）
这时需要问题的实际背景，的确不是太严密，因为我们通常并不考虑它是条件极大或极小。

Answer 2

(1)在圆点为(0，0)，半径为4的圆内部极值的求法:
Fx'(x,y)=6x-3x^2=0
Fy'(x,y)=6y=0
推得:x1=0,x2=2,y=0
即，函数在(0,0)和(2,0)分别取得极值。得F(0,0)=0,F(2,0)=12-0-8=4
(2)在圆的边界上，即在条件x^2+y^2=16时，函数的最小值求法:
设拉格朗日函数为:L(x,y)=3x^2+3y^2-x^3-λ(x^2+y^2-16)
则:L'x=6x-3x^2-2λx=0
L'y=6y-2λy=0
L'λ=-(x^2+y^2-16)=0
推得:λ=3,x=0,y=+-4;或y=0,x=+-4,λ=……
又，f(0,4)=48,f(0,-4)=48，f(4,0)=-16,f(-4,0)=12*16=……
明显看出最小值是f(4,0)。
附:极值点是通过使导数等于0得到的，而最值点不一定有导数。比如一条抛物线有个极大值点，即它的顶点，如果函数是由这个抛物线加抛物线外面一个高于这个极大值点的单点组成，则最大值是这个单点