Question

计算n阶行列式

竖杠省略 要解答步骤
Dn=
a1+1 a2 ... an-1 an
a1 a2+2 ... an-1 an
... ... ... ... ...
a1 a2 ... an-1+(n-1) an
a1 a2 ... an-1 an+n

Answer 1

此题的解答方法很多，不知道你的专业的难度。
以下提供几种思路。

【解法一】
求此矩阵A的行列式|A|
A=B-E，矩阵B为所以元素为3
所以矩阵B的特征值为3n，0，0，...，0（n-1个0）
那么A的特征值为3n-1，-1，-1，...，-1（n-1个-1）
所以|A|=（3n-1）×(-1)^(n-1)
【评注】
此法是根据特征值与行列式直接的关系来求解

【解法二】
对于行列式|A|，对所有元素都减去3，得到 |-E|
|-E|的代数余子式之和ΣAij=n(-1)^(n-1)
由公式 得 |-E|-(-3)n(-1)^(n-1) = |A|
|A|=(-1)^n + 3n(-1)^(n-1) = (3n-1)×(-1)^(n-1)
【评注】
此法是根据行列式计算的公式来解答。
公式：
行列式D的所有元素加上一个数a得到新的行列式Da，Da的所有元素的代数余子式为ΣAij
那么D=Da-aΣAij

【解法三】
将行列式-1倍第1行加到各行，得到爪型行列式，根据爪型行列式的计算方法，口算得
行列式D=（3n-1）×(-1)^(n-1)

【评注】
此法是利用行列式性质，将行列式变成爪型行列式，然后从第n行开始将第1行元素化简为只有1个非零的元素，根据三角形行列式的计算法则，直接得到。

本题是行列式中最基本的题目，方法很多，可以从不同角度来分析计算。
需要扎实的基本知识。

newmanhero 2015年3月26日22:59:09

希望对你有所帮助，望采纳。

Answer 2

设有n^2个数，排列成n行n列的表 　　
a11 a12 ... a1n 　　
a21 a22 ... a2n 　　
... ... ... ... 　　
an1 an2 ... anm 　　
作出表中位于不同行不同列的n个数的乘积，并冠以符号(-1)t，得到形如 (-1)t a1p1 a2p2 ... anpn 　　的项，其中p1,p2,....pn为自然数1,2,...n的一个排列，t为这个排列的逆序数，由于这样的排列共有n!个，因此形如上式的项共有n！项，所有这n！项的代数和即为n 阶行列式的结果。

Answer 3

解: 用加边法
Dn =
1 a1 a2 ... an
0 a1+1 a2 ... an
0 a1 a2+2 ... an
... ...
0 a1 a2 ... an+n

ri-r1,i=2,3,...,n+1
1 a1 a2 ... an
-1 1 0 ... 0
-1 0 2 ... 0
... ...
-1 0 0 ... n

c1+c2+(1/2)c3+...+(1/n)cn+1
1+a1+a2/2+...+an/n a1 a2 ... an
0 1 0 ... 0
0 0 2 ... 0
... ...
0 0 0 ... n

= n!(1+a1+a2/2+...+an/n).

满意请采纳^_^