Question

设Sn为数列{an}的前n项和，已知a1不等于0，Sn=(2an/a1)-1，n属于N+。

Answer 1

解:(1)s1=a1=1;
s2=a1+a2=2^2×a2=4a2;
a2=(1/3)a1=1/3;s2=a1+a2=4/3
s3=a1+a2+a3=3^2×a3=9a3;
a1+a2=8a3;a3=(1/8)(4/3)=1/6;
s3=a1+a2+a3=1+1/3+1/6=3/2;
s4=a1+a2+a3+a4=4^2×a4=16a4;
a1+a2+a3=15a4;a4=(1/15)(3/2)=1/10;
s4=a1+a2+a3+a4=1+1/3+1/6+1/10=8/5;
综上所述,s1=1=2/2,s2=4/3;s3=3/2=6/4;s4=8/5;
故猜想sn=2n/(n+1)(n∈n*)
(2)证明如下:
s(n)-s(n-1)=a(n)=n^2×a(n)-(n-1)^2×a(n-1)
故(n-1)^2×a(n-1)=(n^2-1)×a(n)(n≥2且n∈n*)
等式两边约去(n-1)得:
(n-1)×a(n-1)=(n+1)×a(n)
a(n)/a(n-1)=(n-1)/(n+1);
采用叠乘法求通项公式:
[a(n)/a(n-1)]×[a(n-1)/a(n-2)]×.......×[a(3)/a(2)]×[a(2)/a(1)]
=[(n-1)/(n+1)]×[(n-2)/n]×......×(2/4)×(1/3)
=[(n-1)×(n-2)×(n-3)×...×2×1]/[(n+1)×n×(n-1)×...×4×3]
=2/[n(n+1)](n≥2且n∈n*)(约去交错项)
验证a1=1,合乎通项公式
故有an=2/[n(n+1)](n∈n*)
sn=2{[1-(1/2)]+[(1/2)-(1/3)]+...+[(1/n)-1/(n+1)]}
=2[1-1/(n+1)](约去交错项)
=2n/(n+1)(n∈n*)
由此得证