Question

在正方形ABCD的边BC、CD上各有一点M、N满足∠MAN=45°。求证： AM／AN=√￣AB+BM／AD+DN

Answer 1

延长CB到点N'，使BN‘=DN。连接AN’。
正方形ABCD推出AB=AD，∠B=∠D又因为BN'=DN所以△ABN全等于△ADN
推出AN‘=AN和∠DAN=∠BAN'
正方形ABCD中∠DAB=90°又因为∠MAN=45°所以∠DAN+∠BAN’=45°
所以∠MAN'=∠MAN=45°
又因为AN'=AN，AM=AM所以△AMN全等于△AMN‘推出MN=MN’
设正方形ABCD边长为1，DN=m，BM=n
∠C=90°，CM＝1-n，CN=1-m所以MN²=m²+n²-2m-2n+2
MN'=m+n推出MN'²=m²+n²+2mn
又因为MN=MN'
所以m=1-n/1+n
AM²=1+n²，AN=1+m²推出AM²/AN²=1+n²/1+m²=（n+1）²/2
AB+BM=1+n，AD+DN=1+m推出AB+BM/AD+DN=1+n/1+m=（n+1）²/2
所以AM²/AN²=AB+BM/AD+DN
所以AM/AN=根号AB+BM/AN+DN