Question

已知数列｛an}满足a1=1，an=1/a(n-1)+1(n≥2),求｛an}的通项公式。

Answer 1

An=[A(n-1)+1]/A(n-1)
A1=1=1/1
A2=(1+1)/1=2/1
A3=(2+1)/2=3/2
A4=(3/2+1)/(3/2)=(3+2)/3=5/3
A5=(5/3+1)/(5/3)=8/5
从第3项开始，An=a/b中,分子a是A(n-1)的分子分母之和，b是A(n-2)的分子分母之和。
a和b都是菲波那契数列：1,1,2,3,5,8,13...每一项都是前两项的和，只不过a,b错开了一个。
菲波那契数列Fn的通项公式为：Fn={[（1＋√5）/2]^n － [（1－√5）/2]^n }/√5. （注：√5表示根号5）

这样
a=F(n+1)={[（1＋√5）/2]^(n+1) － [（1－√5）/2]^(n+1) }/√5.
b=Fn={[（1＋√5）/2]^n － [（1－√5）/2]^n }/√5.
因此An=a/b
=F(n+1)/Fn
={[（1＋√5）/2]^(n+1) － [（1－√5）/2]^(n+1) }/{[（1＋√5）/2]^n － [（1－√5）/2]^n }

An的具体证明如下，用数学归纳法，对于A1，A2验证成立。
假设对所有n<=k均成立。由假设Ak=F(k+1)/Fk
当n=k+1时，
A(k+1)=(Ak+1)/Ak
=[F(k+1)/Fk+1]/[F(k+1)/Fk]
=[(F(k+1)+F(k))/Fk][F(k+1)/Fk]
由菲波那契数列的性质，F(k+1)+F(k)=F(k+2)
因此
A(k+1)
=[F(k+2)/Fk]/[F(k+1)/Fk]
=F(k+2)/F(k+1)
对n=k+1也成立。综上，对所有n属于N*都成立
证毕

Answer 2

a1=1,

a2=1/a1+1,

a3=1/a2+1=1/(1/a1+1)+1=a1/(a1+1)+1,

a4=1/a3+1=1/[a1/(a1+1)+1]+1=(a1+1)/(2a1+1)+1,

a5=1/a4+1=1/[(a1+1)/(2a1+1)+1]+1=(2a1+1)/(3a1+2)+1

a6=1/a5+1=1/[(2a1+1)/(3a1+2)+1]+1=(3a1+2)/(5a1+3)+1

.....

不难看出，每次an增长一位的时候，分子实际上是a(n-1)的分母，分母是a(n-1)分子分母之和，而a(n-1)的分子是a(n-2)的分母，所以an的分母实际上是a(n-1)的分母加上a(n-2)的分母，系数增长的方式是1,1,3,5,8,13.....，正好是Fibonacci数列，我们用F(n)表示Fibonacci数列（F(1)=1，F(2)=1，F(n)=F(n-1)+F(n-2)），于是最后的结论是

an=(F(n-2)a1+F(n-3))/(F(n-1)a1+F(n-2))+1

代入Fibonacci数列的通项公式就可以求得这个数列的通项公式了。 （F(n)的通项公式请看下面的图）

追问

在下面几个答案中选择：
A. an=2^n+1
B. an=2^n-1
C. an=2^(n+1)
D. an=2^n+3

追答

晕倒，原来是选择题！我X，你代入几个值不就知道了嘛？！犯得着求通项公式嘛……

a1=1，
a2=1/a1+1=2（为了保险起见，你这个到底是1/a1+1呢，还是1/(a1+1)呢？
a3=1/a2+1=3/2
a4=1/a3+1=5/3
......
你这个答案哪个都不对啊？不信你带入n=4，得到的ABCD没有一个正确的。